미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부정적분 함수값

문제

자연수 nn과 실수 xx에 대하여 함수 Fn(x)F _{n} ( x )가 Fn(x)=∫x3n−1x2+x+1dx\displaystyle F _{n} ( x ) = \int \frac{x ^{3 n} - 1 _{}}{x ^{2} + x + 1} d x Fn(1)=13n−1−13n−2+13n−4−13n−5\displaystyle F _{n} ( 1 ) = \frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n - 2} + \frac{1}{3 n - 4} - \frac{1}{3 n - 5}+⋯+12−1\displaystyle + \cdots + \frac{1}{2} - 1 와 같이 정의될 때, Fn(0)F _{n} ( 0 )의 값은? [3점]

①n(n−1)2\displaystyle \frac{n ( n - 1 )}{2}②n(n−1)(n−2)6\displaystyle \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}③(n−1)(n−2)n+1\displaystyle \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{n + 1}④00⑤11

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④

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해설

x3n−1=(x3−1)(x3n−3+x3n−6+⋯+x3+1)\begin{aligned} x ^{3n} - 1 & = ( x ^{3} - 1 ) ( x ^{3n-3} + x ^{3n-6} + \cdots + x ^{3} + 1 ) \end{aligned} =(x−1)(x2+x+1)(x3n−3+x3n−6+⋯+x3+1)= ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) ( x ^{3n-3} + x ^{3n-6} + \cdots + x ^{3} + 1 ) x3n−1x2+x+1=(x−1)(x3n−3+x3n−6+⋯+x3+1)\displaystyle \begin{aligned} & \frac{x ^{3n} - 1}{x ^{2} + x + 1} = ( x - 1 ) ( x ^{3n-3} + x ^{3n-6} + \cdots + x ^{3} + 1 ) \end{aligned} =x3n−2−x3n−3+x3n−5−x3n−6+⋯+x−1= x ^{3n-2} - x ^{3n-3} + x ^{3n-5} - x ^{3n-6} + \cdots + x - 1 Fn(x)=∫x3n−1x2+x+1dx=∫(x3n−2−x3n−3+x3n−5−x3n−6+⋯+x−1)=13n−1x3n−1−13n−2x3n−2+⋯+12x2−x+C\displaystyle \begin{aligned} F _{n} ( x ) & = \int \frac{x ^{3n} - 1}{x ^{2} + x + 1} dx \\ & = \int \left( x ^{3n-2} - x ^{3n-3} + x ^{3n-5} - x ^{3n-6} + \cdots + x - 1 \right) \\ & = \frac{1}{3 n - 1} x ^{3n-1} - \frac{1}{3 n - 2} x ^{3n-2} + \cdots + \frac{1}{2} x ^{2} - x + C \end{aligned} Fn(1)=13n−1−13n−2+⋯+12−1\displaystyle \begin{aligned} F _{n} ( 1 ) & = \frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n - 2} + \cdots + \frac{1}{2} - 1 \end{aligned}에서 C=0C = 0이므로 ∴Fn(0)=0\therefore F _{n} ( 0 ) = 0

태그

#부정적분#인수분해#적분상수

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