공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부정방정식 정수점 사각형

문제

x,yx , y에 대한 방정식 xy+x+y−1=0xy + x + y - 1 = 0을 만족시키는 정수 x,yx , y를 좌표평면 위의 점 (x,y)( x , y )로 나타낼 때, 이 점들을 꼭지점으로 하는 사각형의 넓이는? [4점] ①22②66③88④32\displaystyle 3 \sqrt{2}⑤42\displaystyle 4 \sqrt{2}

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②

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해설

[출제의도] 미지수가 2개인 이차방정식을 풀고 이를 활용하기 xy+x+y−1=0xy + x + y - 1 = 0에서 (x+1)(y+1)=2⋯㉠( x + 1 ) ( y + 1 ) = 2 \cdots \text{㉠}이고, x,yx , y는 정수이므로 ㉠을 만족하는 정수해를 순서쌍으로 나타내면 (0,1),(1,0),(−2,−3),(−3,−2)( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( - 2 , - 3 ) , ( - 3 , - 2 )이다. 네 점을 꼭지점으로 하는 사각형은 그림과 같다.

사각형 ABCD\mathrm{ABCD}은 직사각형이고 넓이는 AB‾×BC‾=2×32=6\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{BC} = \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2} = 6

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#부정방정식#정수해

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