부정방정식 자연수 해

$x , y , z$는 자연수 (단, $x$는 2이하의 자연수) $4 ( xy + yz + zx ) = 3 xyz$ 양변을 $xyz$로 나누면 $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4}$이고 $\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4} - \frac{1}{x}$이므로 $\therefore$$x = 2$이다. ($x = 1$이면 우변이 음수이므로 모순) $\displaystyle \therefore \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4}$이고 $\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{1}{y}$이므로 $y$와 $z$는 5이상의 자연수이다. 또, 위 식을 정리하면 $yz - 4 ( y + z ) = 0 \leftrightarrow ( y - 4 ) ( z - 4 ) = 16$(부정방정식)

$\therefore$순서쌍은$\begin{aligned} ( x , y , z ) = & ( 2 , 5 , 20 ) , ( 2 , 6 , 12 ) , ( 2 , 8 , 8 ) \\ & ( 2 , 12 , 6 ) , ( 2 , 20 , 5 ) \end{aligned}$ $\therefore$5가지