부호가 바뀌는 수열 합

$n \left( n + 1 \right)$은 연속한 두 자연수의 곱이므로 항상 짝수이다. 그러므로 $n \left( n + 1 \right)$은 $4 k$ 또는 $4 k + 2$의 꼴의 수이다. 따라서 $n = 4 k - 3 , 4 k - 2 , 4 k - 1 , 4 k$의 네 가지이다. (i) $n = 4 k - 3$ 꼴일 때 $a _{n} = - 1$ (ii) $n = 4 k - 2$ 꼴일 때 $a _{n} = - 1$ (iii) $n = 4 k - 1$ 꼴일 때 $a _{n} = 1$ (iv) $n = 4 k$ 꼴일 때 $a _{n} = 1$ ∴ $\left\{ a _{n} \right\}$ : $- 1$, $- 1$, $1$, $1$, $- 1$, $- 1$, $1$, $1$, $\cdot \cdot \cdot$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{2010} n a _{n} = \left\{ \left( - 1 \right) + \left( - 2 \right) + 3 + 4 \right\} +$$\left\{ \left( - 5 \right) + \left( - 6 \right) + 7 + 8 \right\} + \cdot \cdot \cdot$ $+ \left\{ \left( - 2005 \right) + \left( - 2006 \right) + 2007 + 2008 \right\} +$$\left( - 2009 \right) + \left( - 2010 \right)$ $= \underbrace{4 \text{가} 502 \text{개}} {4 + 4 + \cdot \cdot \cdot + 4} + \left( - 2009 \right) + \left( - 2010 \right)$ $= - 2011$