부호 조건 점화식

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열을 이해하고 주어진 조건을 만족시키는 수열의 항을 구할 수 있는가 $a _{3} {\times} a _{4} {\times} a _{5} {\times} a _{6} < 0$이므로 $a _{3}$, $a _{4}$, $a _{5}$, $a _{6}$은 어느 것도 $0$이 될 수 없다. $a _{1} = k > 0$이므로 $a _{2} = a _{1} - 2 - k$$= \mathit{-} 2 < 0$ $a _{3} = a _{2} + 4 - k = 2 - k$ (ⅰ) $a _{3} = 2 - k > 0$인 경우 $2 - k > 0$에서 $k < 2$ 즉 $k = 1$이므로 $a _{4} = a _{3} - 6 - k = \mathit{-} 6 < 0$ $a _{5} = a _{4} + 8 - k = 1 > 0$ $a _{6} = a _{5} - 10 - k$$= \mathit{-} 10$$< 0$ 따라서 $a _{3} {\times} a _{4} {\times} a _{5} {\times} a _{6} > 0$이므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다. (ⅱ) $a _{3} = 2 - k < 0$인 경우 즉 $k > 2$이므로 $a _{4} = a _{3} + 6 - k = 8 - 2 k$ ① $a _{4} = 8 - 2 k > 0$인 경우 즉 $k < 4$이므로 $2 < k < 4$에서 $k = 3$일 때 $a _{4} = 8 - 6 = 2$ $a _{5} = a _{4} - 8 - k = \mathit{-} 9 < 0$ $a _{6} = a _{5} + 10 - k = \mathit{-} 2 < 0$ 따라서 $a _{3} {\times} a _{4} {\times} a _{5} {\times} a _{6} < 0$이므로 주어진 조건을 만족시킨다. ② $a _{4} = 8 - 2 k < 0$인 경우 즉 $k > 4$이므로 $a _{5} = a _{4} + 8 - k = 16 - 3 k$ ㉠ $a _{5} = 16 - 3 k > 0$인 경우 즉 $\displaystyle k < \frac{16}{3}$에서 $\displaystyle 4 < k < \frac{16}{3}$이므로 $k = 5$ $a _{5} = 16 - 15 = 1$ $a _{6} = a _{5} - 10 - k = \mathit{-} 14 < 0$ 따라서 $a _{3} {\times} a _{4} {\times} a _{5} {\times} a _{6} < 0$이므로 조건을 만족시킨다. ㉡ $a _{5} = 16 - 3 k < 0$인 경우 즉 $\displaystyle k > \frac{16}{3}$이므로 $k {\geq} 6$인 경우이다. 이때 $a _{6} = a _{5} + 10 - k$$= 26 - 4 k$ 이고 $a _{3} {\times} a _{4} {\times} a _{5} {\times} a _{6} < 0$이기 위해서는 $a _{6} > 0$이어야 하므로 $a _{6} = 26 - 4 k > 0$ $\displaystyle k < \frac{13}{2}$ 즉 $\displaystyle 6 {\leq} k < \frac{13}{2}$에서 $k = 6$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 모든 $k$의 값의 합은 $3 + 5 + 6 = 14$