부등식이 성립할 조건

$h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = 5 x ^{3} - 10 x ^{2} + k - ( 5 x ^{2} + 2 )$ $= 5 x ^{3} - 15 x ^{2} + k - 2$ 라 하면 $\left\{ x | 0 < x < 3 \right\}$에서 부등식 $h ( x ) \geq 0$이 성립하는 $k$의 최소값을 구하면 된다. $h' ( x ) = 15 x ^{2} - 30 x = 15 x ( x - 2 ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$이므로 $h ( x )$는 $x = 0$일 때 극대값을, $x = 2$일 때 극소값을 갖는다. 따라서, $\left\{ x | 0 < x < 3 \right\}$에서 $h ( x )$는 $x = 2$일 때 최소가 되고 $h ( 2 ) = k - 22$이므로 $\left\{ x | 0 < x < 3 \right\}$에서 $h ( x ) \geq 0$이려면 $k - 22 \geq 0$이면 된다. ∴ $k \geq 22$ 따라서, $k$의 최소값은 22이다.