미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부등식이 성립할 조건

문제

두 함수 f(x)f \left( x \right)=x3−x+6= x ^{3} - x + 6, g(x)g \left( x \right)=x2+a= x ^{2} + a 가 있다. x≥0x \geq 0인 모든 실수 xx에 대하여 부등식 f(x)≥g(x)f \left( x \right) \geq g \left( x \right) 가 성립할 때, 실수 aa의 최댓값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수의 최솟값을 구하고 이를 부등식에 활용할 수 있는가? h(x)h \left( x \right)=f(x)−g(x)= f \left( x \right) - g \left( x \right)라 하면 h(x)h \left( x \right)=x3−x2−x+6−a= x ^{3} - x ^{2} - x + 6 - a 이때 x≥0x \geq 0인 모든 실수 xx에 대하여 부등식 h(x)≥0h \left( x \right) \geq 0이 성립하려면 x≥0x \geq 0에서 함수 h(x)h \left( x \right)의 최솟값이 00 이상이어야 한다. h′(x)h' ( x )=3x2−2x−1= 3 x ^{2} - 2 x - 1=(3x+1)(x−1)= ( 3 x + 1 ) ( x - 1 ) 이므로 h′(x)h' \left( x \right)=0= 0 에서 xx=−13\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{3} 또는 xx=1= 1 x≥0x \geq 0에서 함수 h(x)h \left( x \right)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x{x}00⋯{\cdots}11⋯{\cdots}
h′(x)h' \left( x \right)−-00++
h(x)h \left( x \right)6−a6 - a↘\searrow5−a5 - a↗\nearrow

즉, x≥0x \geq 0에서 함수 h(x)h \left( x \right)의 최솟값이 5−a5 - a이므로 주어진 조건을 만족시키려면 5−a≥05 - a \geq 0이어야 한다. 따라서 a≤5a \leq 5이므로 구하는 실수 aa의 최댓값은 55이다.

태그

#부등식#최솟값#증감표

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