부등식이 성립할 조건

$f \left( x \right) = 2 x ^{3} + 3 x ^{2} - 12 x - 8$이라 하면 $f' \left( x \right) = 6 x ^{2} + 6 x - 12 = 6 \left( x - 1 \right) \left( x + 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = - 2$ 또는 $x = 1$ $- 2 \leq x \leq 2$에서 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$f \left( - 2 \right) = 12$, $f \left( 1 \right) = - 15$, $f \left( 2 \right) = - 4$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같다.

함수 $y = f \left( x \right)$는 $- 2 \leq x \leq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 최댓값은 $12$이고 최솟값은 $- 15$이다. $f \left( x \right) \leq k$이므로 $12 \leq k$, $k \geq 12$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $- k \leq f \left( x \right)$이므로 $- k \leq - 15$, $k \geq 15$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $k \geq 15$ 따라서 양수 $k$의 최솟값은 $15$이다.