부등식이 항상 성립

[출제의도] 도함수를 활용하여 부등식이 성립할 조건을 구한다. $f ( x ) \leq g ( x )$에서 $g ( x ) - f ( x ) \geq 0$ 즉 $\displaystyle x ^{4} + \frac{4}{3} x ^{3} - 4 x ^{2} + a \geq 0$ $\displaystyle h ( x ) = x ^{4} + \frac{4}{3} x ^{3} - 4 x ^{2} + a$라 하면 $h ( x ) \geq 0$ $h' ( x )$$= 4 x ^{3} + 4 x ^{2} - 8 x$$= 4 x ( x - 1 ) ( x + 2 )$ $h' ( x ) = 0$에서 $x = \mathit{-} 2$ 또는 $x = 0$ 또는 $x = 1$ 함수 $h ( x )$의 증가와 감소를 나타내면 다음과 같다.

함수 $h ( x )$는 $x = \mathit{-} 2$에서 최솟값 $\displaystyle a - \frac{32}{3}$를 갖는다. $\displaystyle a - \frac{32}{3} \geq 0$에서 $\displaystyle a \geq \frac{32}{3}$ 따라서 실수 $a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{32}{3}$이다.