부등식과 기울기 보기

[출제의도] 그래프의 성질을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 두 곡선 $y = ( 2 - x ) ^{3} ,$ $y = nx ^{2} - nx + 1$의 그래프는 다음 그림과 같다.

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f ( x ) = f ( 1 ) = 1$이므로 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 연속이고 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음 그림과 같다.

ㄱ. 함수 $y = ( 2 - x ) ^{3} = - x ^{3} + 6 x ^{2} - 12 x + 8$에서 $y' = - 3 x ^{2} + 12 x - 12 = - 3 ( x - 2 ) ^{2}$이므로 곡선 $y = - x ^{3} + 6 x ^{2} - 12 x + 8$위의 점 $( 1 , 1 )$에서의 미분계수는 $- 3$ 함수 $y = nx ^{2} - nx + 1$에서 $y' = 2 nx - n$이므로 곡선 $y = nx ^{2} - nx + 1$ 위의 점 $( 1 , 1 )$에서의 미분계수는 $n$이다. $- 3 \ne n$($n :$자연수)이므로 $f' ( 1 )$은 존재하지 않는다. (참) ㄴ. 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 극솟값을 갖는다. (참) ㄷ. 함수 $y = mx - m + 1$의 그래프는 $m$의 값에 관계없이 점 $( 1 , 1 )$을 지나는 직선이므로 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f ( x ) \geq mx - m + 1$을 만족하기 위해서는 아래 그림과 같이 곡선 $y = ( 2 - x ) ^{3}$위의 점 $( 1 , 1 )$에서 이 곡선에 그은 접선의 방정식과 곡선 $y = nx ^{2} - nx + 1$ 위의 점 $( 1 , 1 )$ 에서 이 곡선에 그은 접선의 방정식을 구해야 한다.

곡선 $y = ( 2 - x ) ^{3}$위의 점 $( 1 , 1 )$에서의 미분계수는 $- 3$이므로 곡선 $y = ( 2 - x ) ^{3}$위의 점 $( 1 , 1 )$에서의 접선의 방정식은 $y = - 3 x + 4$ 함수 $y = nx ^{2} - nx + 1$위의 점 $( 1 , 1 )$에서의 미분계수는 $n$이므로 곡선 $y = nx ^{2} - nx + 1$위의 점 $( 1 , 1 )$에서의 접선의 방정식은 $y = nx - n + 1$

따라서 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f ( x ) \geq mx - m + 1$이 성립하기 위해서는 직선 $y = mx - m + 1$의 기울기 $m$의 범위가 $- 3 \leq m \leq n$ 이어야 한다. $g ( n ) = n + 4$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} g ( k ) = \sum\limits _{k = 1} ^{10} ( k + 4 ) = 95$ (거짓)