부등식 조건 삼차함수

삼차함수 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$이므로 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ ($a$, $b$, $c$는 상수) 라 하면 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$ $f \left( 0 \right) = c$이므로 $0$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \frac{f \left( 2 x \right) - f \left( 0 \right)}{2 x}$$= 4 x ^{2} + 2 ax + b$ 주어진 부등식은 $\displaystyle \frac{3 x ^{2} + 2 ax + b}{2} + x ^{2} - 2 \leq 4 x ^{2} + 2 ax + b \leq x ^{4}$ (ⅰ) $\displaystyle \frac{3 x ^{2} + 2 ax + b}{2} + x ^{2} - 2 \leq 4 x ^{2} + 2 ax + b$일 때 $\displaystyle \frac{5}{2} x ^{2} + ax + \frac{b}{2} - 2 \leq 4 x ^{2} + 2 ax + b$ $\displaystyle 0 \leq \frac{3}{2} x ^{2} + ax + \frac{b}{2} + 2$ 양변에 $2$를 곱하면 $3 x ^{2} + 2 ax + b + 4 \geq 0$ 이 이차부등식이 $0$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로 모든 실수 $x$에 대하여 성립해야 한다. 따라서 판별식을 $D$라 하면 $D \leq 0$이어야 한다. $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - 3 \left( b + 4 \right) \leq 0$ $a ^{2} \leq 3 b + 12$ $a ^{2} \geq 0$이므로 $b \geq - 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (ⅱ) $4 x ^{2} + 2 ax + b \leq x ^{4}$일 때 $x ^{4} - 4 x ^{2} - 2 ax - b \geq 0$ $x ^{4} - 4 x ^{2} \geq 2 ax + b$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 에서 ㉠에 의하여 $x ^{4} - 4 x ^{2} \geq 2 ax + b \geq 2 ax - 4$ 이므로 $x ^{4} - 4 x ^{2} \geq 2 ax + b \geq 2 ax - 4$ $\left( x ^{2} - 2 \right) ^{2} \geq 2 ax + b \geq 2 ax$ 모든 실수 $x$에 대하여 위 부등식이 성립해야 하므로 $a = 0$ $a = 0$을 ㉡에 대입하면 $x ^{4} - 4 x ^{2} \geq b$, $\left( x ^{2} - 2 \right) ^{2} - 4 \geq b$ 이므로 $b \leq - 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉠, ㉢에 의하여 $b = - 4$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 4$ $\therefore$ $f' \left( 10 \right) = 3 \times 10 ^{2} - 4 = 300 - 4 = 296$