대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부등식 증명 빈칸

문제

다음은 22 이상인 모든 자연수 nn에 대하여 부등식 ∑k=1n−1nn−k⋅12k−1<4\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{n}{n - k} \cdot \frac{1}{2 ^{k - 1}} < 4 ⋯⋯\cdots \cdots(*) 이 성립함을 증명하는 과정의 일부이다.

<증명> 22 이상인 모든 자연수 nn에 대하여 an=∑k=1n−1nn−k⋅12k−1=nn−1+nn−2⋅12+⋯+n2n−2\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{n}{n - k} \cdot \frac{1}{2 ^{k - 1}} = \frac{n}{n - 1} + \frac{n}{n - 2} \cdot \frac{1}{2} + \cdots + \frac{n}{2 ^{n - 2}} 라 하자. an+1=∑k=1nn+1n+1−k⋅12k−1=□(가)+n+1n−1⋅12+n+1n−2⋅122+⋯+n+12n−1=□(가)+(n+1)(1n−1⋅12+1n−2⋅122+⋯+12n−1)\displaystyle \begin{aligned} a _{n + 1} & = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{n + 1}{n + 1 - k} \cdot \frac{1}{2 ^{k - 1}} \\ & \\ & = {\square {( \text{가} ) ^{}}} + \frac{n + 1}{n - 1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{n + 1}{n - 2} \cdot \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{n + 1}{2 ^{n - 1}} \\ & \\ & = {\square {( \text{가} ) ^{}}} + ( n + 1 ) \left( \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{n - 2} \cdot \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n - 1}} \right) \end{aligned} 이 식을 정리하면 an+1=□(나)an+n+1n\displaystyle a _{n + 1} = {\square {( \text{나} ) ^{}}} a _{n} + \frac{n + 1}{n} (n≥2)( n \geq 2 ) 를 얻는다. a2=2<4a _{2} = 2 < 4, a3=3<4a _{3} = 3 < 4이므로 (*)이 성립한다. n≥3n \geq 3일 때 an<4a _{n} < 4라 하자. ⋮\vdots 따라서 22 이상인 모든 자연수 nn에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, 48g(10)f(5)\displaystyle \frac{48 g ( 10 )}{f ( 5 )}의 값은? [4점] ①2020②2222③2424④2626⑤2828

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②

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해설

[출제의도] 수열의 합 증명하기 22 이상인 모든 자연수 nn에 대하여 an=∑k=1n−1nn−k⋅12k−1=nn−1+nn−2⋅12+⋯+n2n−2\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{n}{n - k} \cdot \frac{1}{2 ^{k - 1}} = \frac{n}{n - 1} + \frac{n}{n - 2} \cdot \frac{1}{2} + \cdots + \frac{n}{2 ^{n - 2}}라 하자. an+1=∑k=1nn+1n+1−k⋅12k−1=□n+1n+n+1n−1⋅12+n+1n−2⋅122+⋯+n+12n−1=□n+1n+(n+1)(1n−1⋅12+1n−2⋅122+⋯+12n−1)=□n+1n+n+12n(nn−1+nn−2⋅12+⋯+n2n−2)\displaystyle \begin{aligned} a _{n + 1} & = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{n + 1}{n + 1 - k} \cdot \frac{1}{2 ^{k - 1}} \\ & \\ & = {\square {\frac{n + 1}{{n} ^{}}}} + \frac{n + 1}{n - 1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{n + 1}{n - 2} \cdot \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{n + 1}{2 ^{n - 1}} \\ & \\ & = {\square {\frac{n + 1}{{n} ^{}}}} + ( n + 1 ) \left( \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{n - 2} \cdot \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n - 1}} \right) \\ \\ & = {\square {\frac{n + 1}{{n} ^{}}}} + \frac{n + 1}{2 n} \left( \frac{n}{n - 1} + \frac{n}{n - 2} \cdot \frac{1}{2 ^{}} + \cdots + \frac{n}{2 ^{n - 2}} \right) \end{aligned} 이므로 an+1=□n+12nan+n+1n\displaystyle a _{n + 1} = \square {\frac{n + 1}{2 n}} a _{n} + \frac{n + 1}{n} 을 얻는다. a2=2<4a _{2} = 2 < 4, a3=3<4a _{3} = 3 < 4이므로 (*)이 성립한다. n≥3n \geq 3일 때 an<4a _{n} < 4라 하자. an+1=n+12nan+n+1n<n+12n⋅4+n+1n\displaystyle a _{n + 1} = \frac{n + 1}{2 n} a _{n} + \frac{n + 1}{n} < \frac{n + 1}{2 n} \cdot 4 + \frac{n + 1}{n}=3+3n≤4\displaystyle = 3 + \frac{3}{n} \leq 4 이다. 그러므로 22 이상인 모든 자연수 nn에 대하여 (*)이 성립한다. 따라서 f(n)=n+1n\displaystyle f \left( n \right) = \frac{n + 1}{n}, g(n)=n+12n\displaystyle g \left( n \right) = \frac{n + 1}{2 n}이다. f(5)=65\displaystyle f \left( 5 \right) = \frac{6}{5}, g(10)=1120\displaystyle g \left( 10 \right) = \frac{11}{20}이고 48g(10)f(5)=48×112065=48×1124=22\displaystyle \frac{48 g ( 10 )}{f ( 5 )} = 48 \times \frac{\frac{11}{20}}{\frac{6}{5}} = 48 \times \frac{11}{24} = 22이다.

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#수학적 귀납법#점화식#빈칸 추론

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