대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식 증명 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 부등식 (1+1n)n<(1+1n+1)n+1\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n+1} 이 성립함을 an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+bn−1)a ^{n} - b ^{n} = ( a - b ) ( a ^{n-1} + a ^{n-2} b + \cdots + b ^{n-1} )을 이용하여 증명하는 과정이다.

(1+1n)n+1−(1+1n+1)n+1\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n+1} - \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n+1} =□(가){(1+1n)n+(1+1n)n−1(1+1n+1)\displaystyle = \square {( \text{가} )} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) \right. +(1+1n)n−2(1+1n+1)2+⋯+(1+1n+1)n}\displaystyle + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n-2} \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{2} + \cdots + \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n} \} <□(가){(1+1n)n+(1+1n)n+⋯+(1+1n)n}\displaystyle < \square {( \text{가} ) ^{}} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} + \cdots + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} \right\} =□(나)(1+1n)n\displaystyle = \square {( \text{나} )} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} 즉, (1+1n)n+1−(1+1n+1)n+1<□(나)(1+1n)n\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n+1} - \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n+1} < \square {( \text{나} )} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n}이다. 따라서, (1+1n)n<(1+1n+1)n+1\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n+1}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, g(5)f(10)\displaystyle \frac{g ( 5 )}{f ( 10 )}의 값은? [3점] ①1010②1212③1515④1818⑤2222

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⑤

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해설

[출제의도] 인수분해를 이용한 부등식의 증명에 관한 추론을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. (1+1n)n+1−(1+1n+1)n+1\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n+1} - \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n+1} =1n(n+1){(1+1n)n+(1+1n)n−1(1+1n+1)\displaystyle = \frac{1}{n ( n + 1 )} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) \right. +(1+1n)n−2(1+1n+1)2+⋯+(1+1n+1)n}\displaystyle + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n-2} \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{2} + \cdots + \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n} \} <1n(n+1){(1+1n)n+(1+1n)n+⋯+(1+1n)n}\displaystyle < \frac{1}{n ( n + 1 )} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} + \cdots + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} \right\} =n+1n(n+1)(1+1n)n\displaystyle = \frac{n + 1}{n ( n + 1 )} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} 즉, (1+1n)n+1−(1+1n+1)n+1<1n(1+1n)n\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n+1} - \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n+1} < \frac{1}{n} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n}이다. (1+1n)n<(1+1n+1)n+1\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < \left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right) ^{n+1} f(n)=1n(n+1)\displaystyle f ( n ) = \frac{1}{n ( n + 1 )}, g(n)=1n\displaystyle g ( n ) = \frac{1}{n}이므로 f(10)=110⋅11\displaystyle f ( 10 ) = \frac{1}{10 \cdot 11}, g(5)=15\displaystyle g ( 5 ) = \frac{1}{5}이다. ∴g(5)f(10)=22\displaystyle \therefore \frac{g ( 5 )}{f ( 10 )} = 22

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#증명 빈칸#부등식

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