부등식 증명 빈칸

다음은 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} >$(다)

이 성립함을 증명하는 과정이다.

위의 그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{k} , \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{k - 1}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 1 , \angle \mathrm{C} = 90 ^\circ$ 인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 점 $\mathrm{C}$로부터 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BE}}$가 되도록 선분 $\mathrm{AB}$위에 점 $\mathrm{E}$를 정하자. 이 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} =$(가) , $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} =$(나) 이고 $2$이상의 자연수 $k$에 대하여 (가) $>$(나) 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{n}$(가) $>$$\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{n}$(나) 이다. 따라서, $\displaystyle 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 1 + \sum\limits _{k = 2} ^{n}$(나) $=$(다)

이므로 $\displaystyle 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} >$(다) 가 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$\displaystyle \frac{\sqrt{k - 1}}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle \sqrt{k} - 1$ $\displaystyle \sqrt{n + 1}$②$\displaystyle \frac{\sqrt{k - 1}}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle \sqrt{k} - \sqrt{k - 1}$ $\displaystyle \sqrt{n + 1}$③$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle \sqrt{k} - 1$ $\displaystyle \sqrt{n}$④$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle \sqrt{k} - \sqrt{k - 1}$ $\displaystyle \sqrt{n}$⑤$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}$ $\displaystyle \sqrt{k} - \sqrt{k - 1}$ $\displaystyle \sqrt{n + 1}$