미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부등식 최댓값 빈칸

문제

다음은 모든 실수 xx에 대하여 2x−1≥kex22 x - 1 \geq ke ^{x ^{2}}을 성립시키는 실수 kk의 최댓값을 구하는 과정이다.

f(x)=(2x−1)e−x2f \left( x \right) = \left( 2 x - 1 \right) e ^{- x ^{2}}이라 하자. f′(x)=(□(가))×e−x2f' \left( x \right) = \left( {\square {( \text{가} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} \right) \times e ^{- x ^{2}} f′(x)=0f' \left( x \right) = 0에서 x=−12\displaystyle x = - \frac{1}{2} 또는 x=1x = 1 함수 f(x)f \left( x \right)의 증가와 감소를 조사하면 함수 f(x)f \left( x \right)의 극솟값은 □(나)\square {( \text{나} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} 이다. 또한 lim⁡x→∞f(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f \left( x \right) = 0}, lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {f \left( x \right) = 0}이므로 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프의 개형을 그리면 함수 f(x)f \left( x \right)의 최솟값은 □(나)\square {( \text{나} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} 이다. 따라서 2x−1≥kex22 x - 1 \geq ke ^{x ^{2}}을 성립시키는 실수 kk의 최댓값은 □(나)\square {( \text{나} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} 이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 g(x)g \left( x \right), (나)에 알맞은 수를 pp라 할 때, g(2)×pg \left( 2 \right) \times p의 값은? [4점] ①10e\displaystyle \frac{10}{e}②15e\displaystyle \frac{15}{{e}}③20e4\displaystyle \frac{20}{\sqrt[4]{e}}④25e4\displaystyle \frac{25}{\sqrt[4]{e}}⑤30e4\displaystyle \frac{30}{\sqrt[4]{e}}

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③

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기 f(x)=(2x−1)e−x2f \left( x \right) = \left( 2 x - 1 \right) e ^{- x ^{2}}이라 하자. f′(x)=(□−4x2+2x+2)×e−x2f' \left( x \right) = \left( {\square {- 4 x ^{2} + 2 x + 2}} \right) \times e ^{- x ^{2}} =−2(2x+1)(x−1)e−x2= - 2 \left( 2 x + 1 \right) \left( x - 1 \right) e ^{- x ^{2}} f′(x)=0f' \left( x \right) = 0에서 x=−12\displaystyle x = - \frac{1}{2} 또는 x=1x = 1 함수 f(x)f \left( x \right)의 증가와 감소를 표로 나타내면

xx⋯\cdots−12\displaystyle - \frac{1}{2}⋯\cdots11⋯\cdots
f′(x)f' \left( x \right)−-00++00−-
f(x)f \left( x \right)↘\searrow−2e4\displaystyle - \frac{2}{\sqrt[4]{e}}↗\nearrow1e\displaystyle \frac{1}{e}↘\searrow

이므로 함수 f(x)f \left( x \right)의 극솟값은 □−2e4\displaystyle {\square {- \frac{2}{\sqrt[4]{e}}}}이다. 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프의 개형을 그리면

이므로 함수 f(x)f \left( x \right)의 최솟값은 □−2e4\displaystyle {\square {- \frac{2}{\sqrt[4]{e}}}}이다. (2x−1)e−x2≥−2e4\displaystyle \left( 2 x - 1 \right) e ^{- x ^{2}} \geq - \frac{2}{\sqrt[4]{e}}이므로 k≤−2e4\displaystyle k \leq - \frac{2}{\sqrt[4]{e}} 따라서 2x−1≥kex22 x - 1 \geq ke ^{x ^{2}}을 성립시키는 실수 kk의 최댓값은 □−2e4\displaystyle {\square {- \frac{2}{\sqrt[4]{e}}}}이다. ∴\therefore g(x)=−4x2+2x+2g \left( x \right) = - 4 x ^{2} + 2 x + 2, p=−2e4\displaystyle p = - \frac{2}{\sqrt[4]{e}} 따라서 g(2)×p=20e4\displaystyle g \left( 2 \right) \times p = \frac{20}{\sqrt[4]{e}}

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#최댓값과 최솟값#빈칸 추론

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