대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴과 외접원

문제

그림과 같이 중심이 O{\mathrm{O}}, 반지름의 길이가 6\mathrm{6}이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OAB{\mathrm{OAB}}가 있다. 호 AB{\mathrm{AB}} 위에 점 C{\mathrm{C}}를 AC‾=42\displaystyle \overline{{\mathrm{AC}}} = 4 \sqrt{2}가 되도록 잡는다. 호 AC{\mathrm{AC}} 위의 한 점 D{\mathrm{D}}에 대하여 점 D{\mathrm{D}}를 지나고 선분 OA{\mathrm{OA}}에 평행한 직선과 점 C{\mathrm{C}}를 지나고 선분 AC{\mathrm{AC}}에 수직인 직선이 만나는 점을 E{\mathrm{E}}라 하자. 삼각형 CED{\mathrm{CED}}의 외접원의 반지름의 길이가 32\displaystyle 3 \sqrt{2}일 때, AD‾=p+q7\displaystyle \overline{{\mathrm{AD}}} = p + q \sqrt{7}을 만족시키는 두 유리수 pp, qq에 대하여 9×∣p×q∣9 \times \left| p \times q \right|의 값을 구하시오. (단, 점 D{\mathrm{D}}는 점 A{\mathrm{A}}도 아니고 점 C\mathrm{C}도 아니다.) [4점]

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해설

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제해결하기 중심이 O{\mathrm{O}}이고 반지름의 길이가 6\mathrm{6}인 원을 CC라 하고, 원 CC와 직선 OA{\mathrm{OA}}가 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 F{\mathrm{F}}라 하자. 선분 FA{\mathrm{FA}}는 원 CC의 지름이므로 ∠FCA=π2\displaystyle \angle {\mathrm{FCA}} \mathit{=} \frac{\pi}{2}이다. 또한 ∠ECA=π2\displaystyle \angle {\mathrm{ECA}} \mathit{=} \frac{\pi}{2}이므로 세 점 C{\mathrm{C}}, E{\mathrm{E}}, F{\mathrm{F}}는 한 직선 위에 있다.

직선 ED{\mathrm{ED}}가 직선 OA{\mathrm{OA}}에 평행하므로 sin⁡(∠DEC)=sin⁡(∠AFC)=AC‾AF‾=23\displaystyle \sin ( \angle {\mathrm{DEC}} \mathit{)} = \sin ( \angle {\mathrm{AFC}} \mathit{)} = \frac{\overline{{\mathrm{AC}}}}{\overline{{\mathrm{AF}}}} = \frac{\sqrt{2}}{3} 삼각형 CED{\mathrm{CED}}에서 사인법칙에 의하여 CD‾sin⁡(∠DEC)=2×32=62\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{CD}}}}{\sin ( \angle {\mathrm{DEC}} \mathit{)}} = 2 \times 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}, CD‾=4\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = 4 사각형 ADCF{\mathrm{ADCF}}가 원 CC에 내접하므로 cos⁡(∠CDA)\cos ( \angle {\mathrm{CDA}} \mathit{)}=cos⁡(π−∠AFC)= \cos \left( \pi - \angle \mathrm{AFC} \right) =−cos⁡(∠AFC)= - \cos \left( \angle \mathrm{AFC} \right) =−1−(23)2=−73\displaystyle = - \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right) ^{2}} = - \frac{\sqrt{7}}{3} 삼각형 ADC\mathrm{ADC}에서 코사인법칙에 의하여 (42)2=42+AD‾2−2×4×AD‾×(−73)\displaystyle \left( 4 \sqrt{2} \right) ^{2} = 4 ^{2} + {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} - 2 \times 4 \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times \left( - \frac{\sqrt{7}}{3} \right) 3×AD‾2+87×AD‾−48=0\displaystyle 3 \times {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} + 8 \sqrt{7} \times {\overline{\mathrm{AD}}} - 48 = 0 AD‾>0\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} > 0이므로 AD‾=163−437\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = \frac{16}{3} - \frac{4}{3} \sqrt{7} 따라서 p=163\displaystyle p = \frac{16}{3}, q=−43\displaystyle q = - \frac{4}{3}이므로 9×∣p×q∣=649 \times \left| p \times q \right| = 64

태그

#사인법칙#코사인법칙#외접원

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