미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

부채꼴 넓이 최대

문제

그림과 같이 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ이고 반지름의 길이가 11인 부채꼴 AOB\mathrm{A} OB와 선분 OA\mathrm{O} A 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있다. 선분 OP\mathrm{O} P를 한 변으로 하는 정사각형 OPQR\mathrm{O} PQR가 호 AB\mathrm{A} B와 서로 다른 두 점 S\mathrm{S}, T\mathrm{T}에서 만날 때, 정사각형 OPQR\mathrm{O} PQR에서 점 Q\mathrm{Q}를 중심으로 하고 반지름이 QS\mathrm{Q} S인 부채꼴 SQT\mathrm{S} QT를 제외한 어두운 부분의 넓이를 DD라 하자. ∠SOT=θ\angle \mathrm{S} OT = \theta라 할 때, DD가 최대가 되도록 하는 θ\theta에 대하여 10πtan⁡θ10 \pi \tan \theta의 값을 구하시오. [4점]

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20

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해설

θ\theta

∠SOT=θ\angle SOT = \theta이므로 ∠SOP=π4−θ2\displaystyle \angle SOP = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}=t= t( 0≤t≤π4\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4})로 놓으면 OP‾=cos⁡t\displaystyle \overline{OP} = \cos t, ST‾=sin⁡t\displaystyle \overline{ST} = \sin t이므로 D=cos⁡2t−(cos⁡t−sin⁡t)2π4\displaystyle D = \cos ^{2} t - ( \cos t - \sin t ) ^{2} \frac{\pi}{4} =cos⁡2t−(1−2sin⁡tcos⁡t)π4\displaystyle = \cos ^{2} t - ( 1 - 2 \sin t \cos t ) \frac{\pi}{4} =cos⁡2t−(1−sin⁡2t)π4\displaystyle = \cos ^{2} t - ( 1 - \sin 2 t ) \frac{\pi}{4} D′=−2cos⁡tsin⁡t+π4⋅2cos⁡2t\displaystyle D' = - 2 \cos t \sin t + \frac{\pi}{4} \cdot 2 \cos 2 t =−sin⁡2t+π2cos⁡2t\displaystyle = - \sin 2 t + \frac{\pi}{2} \cos 2 t=0= 0 즉, tan⁡2t=π2\displaystyle \tan 2 t = \frac{\pi}{2} ( 0≤t≤π4\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4})를 만족하는 tt에 대하여 DD는 최댓값을 갖는다. tan⁡2t\tan 2 t=tan⁡2(π4−θ2)=tan⁡(π2−θ)\displaystyle = \tan 2 ( \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} ) = \tan ( \frac{\pi}{2} - \theta ) =cot⁡(π2−θ)\displaystyle = \cot ( \frac{\pi}{2} - \theta )=cot⁡θ= \cot \theta=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2} ∴ tan⁡θ=2π\displaystyle \tan \theta = \frac{2}{\pi} ∴ 10πtan⁡θ=10π×2π\displaystyle 10 \pi \tan \theta = 10 \pi \times \frac{2}{\pi}=20= 20

태그

#최대최소#삼각함수#넓이

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