부분집합 최소 원소의 합

[출제의도] 집합의 원소를 활용하여 추론하기 (ⅰ) 가장 작은 원소가 $2$인 경우 $\mathrm{2} \times \left( \mathrm{} _{5} C _{2} + {} _{5} C _{3} + {} _{5} C _{4} + {} _{5} C _{5} \right)$$\mathrm{=} 2 \times \left( 2 ^{5} - \mathrm{} _{5} C _{0} - {} _{5} C _{1} \right) = 52$ (ⅱ) 가장 작은 원소가 $2 ^{2}$인 경우 $\mathrm{2} ^{2} \times \left( \mathrm{} _{4} C _{2} + {} _{4} C _{3} + {} _{4} C _{4} \right)$$\mathrm{=} 2 ^{2} \times \left( 2 ^{4} - \mathrm{} _{4} C _{0} - {} _{4} C _{1} \right) = 44$ (ⅲ) 가장 작은 원소가 $2 ^{3}$인 경우 $\mathrm{2} ^{3} \times \left( \mathrm{} _{3} C _{2} + {} _{3} C _{3} \right) = 32$ (ⅳ) 가장 작은 원소가 $2 ^{4}$인 경우 $\mathrm{2} ^{4} \times {} _{2} C _{2} = 16$ 따라서 $52 + 44 + 32 + 16 = 144$ (다른 풀이) 각 부분집합에서 가장 작은 원소의 합은 $2 \times 2 ^{5} + 2 ^{2} \times 2 ^{4} + \cdots + 2 ^{6} \times 1$$= 6 \times 2 ^{6} = 384$ 원소의 개수가 $1$, $2$인 부분집합의 가장 작은 원소의 합은 $( 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + 2 ^{4} + 2 ^{5} + 2 ^{6} )$ $+ ( 2 \times 5 + 2 ^{2} \times 4 + 2 ^{3} \times 3 + 2 ^{4} \times 2 + 2 ^{5} \times 1 )$ $\displaystyle = \frac{2 \times ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} + ( 10 + 16 + 24 + 32 + 32 )$ $= 126 + 114 = 240$ 따라서 $384 - 240 = 144$