부분적분 정적분

[출제의도] 부분적분법을 이용하여 일반적인 함수의 정적분의 값을 추론한다. $\displaystyle \int _{- 1} ^{x} {f ( t ) dt = F ( x )}$이므로 $F' ( x ) = f ( x )$, $F ( - 1 ) = 0$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {xf ( x ) dx = \int _{0} ^{- 1} {xf ( x ) dx}}$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {xf ( x ) dx - \int _{0} ^{- 1} {xf ( x ) dx} = 0}$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {xf ( x ) dx + \int _{- 1} ^{0} {xf ( x ) dx} = 0}$ $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {xf ( x ) dx = 0}$ 정적분의 부분적분법에 의하여, $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} F ( x ) dx$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} xF ( x ) \end{array} \right] _{- 1} ^{1} - \int _{- 1} ^{1} {} xf ( x ) dx$ $= F ( 1 ) + F ( - 1 ) - 0$ $= F ( 1 ) + 0$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {} f ( x ) dx$$= 12$