미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부분적분 정적분

문제

다음 그림은 미분가능한 함수 f(x)f ( x )의 그래프이다. f(0)=0f ( 0 ) = 0, f(2)=3f ( 2 ) = 3이고, y=f(x)y = f ( x )와 xx축 및 직선 x=2x = 2로 둘러싸인 부분의 넓이가 11일 때, 정적분 ∫022xf′(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{2} {2 x f' ( x ) dx}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 정적분의 기하학적 의미를 파악하고, 부분적분법을 활용한 정적분 값을 구할 수 있는가를 문는 문제이다. ∫022xf′(x)dx=2∫02xf′(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{2} 2 xf' ( x ) dx = 2 \int _{0} ^{2} xf' ( x ) dx =2[xf(x)]02−2∫02f(x)dx\displaystyle = 2 \left[ xf ( x ) \right] _{0} ^{2} - 2 \int _{0} ^{2} f ( x ) dx ∫02f(x)dx=1\displaystyle \int _{0} ^{2} f ( x ) dx = 1이므로 ∫022xf′(x)dx=2⋅2f(2)−2⋅1=10\displaystyle \int _{0} ^{2} 2 xf' ( x ) dx = 2 \cdot 2 f ( 2 ) - 2 \cdot 1 = 10

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