미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부분적분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) f(1)=2f ( 1 ) = 2 (나) ∫01(x−1)f′(x+1)dx=−4\displaystyle \int _{0} ^{1} {( x - 1 ) f' ( x + 1 ) dx} = - 4

∫12f(x)dx\displaystyle \int _{1} ^{2} {f ( x ) dx}의 값을 구하시오. (단, f′(x)f' ( x )는 연속함수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 치환적분법과 부분적분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다. ∫01(x−1)f′(x+1)dx=−4\displaystyle \int _{0} ^{1} {( x - 1 ) f' ( x + 1 ) dx} = - 4에서 x+1=tx + 1 = t로 놓으면 dxdt=1\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1이고, x=0x = 0일 때 t=1t = 1, x=1x = 1일 때 t=2t = 2 ∫01(x−1)f′(x+1)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {( x - 1 ) f' ( x + 1 ) dx} =∫12(t−2)f′(t)dt\displaystyle = \int _{1} ^{2} {( t - 2 ) f' ( t ) dt}=[(t−2)f(t)]12−∫12f(t)dt\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} ( t - 2 ) f ( t ) \end{array} \right] _{1} ^{2} - \int _{1} ^{2} {f ( t ) dt} =f(1)−∫12f(t)dt\displaystyle = f ( 1 ) - \int _{1} ^{2} {f ( t ) dt}=2−∫12f(t)dt=−4\displaystyle = 2 - \int _{1} ^{2} {f ( t ) dt} = - 4 따라서∫12f(x)dx=6\displaystyle \int _{1} ^{2} {f ( x ) dx} = 6

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#부분적분#치환적분

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