부분합 빈칸 추론

[출제의도] 수열의 합을 활용하여 추론하기 $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n}$$= S _{n} - S _{n - 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{3 S _{k}}{k + 2} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{3 S _{k}}{k + 2}$$\displaystyle = \frac{3 S _{n}}{n + 2}$ 이므로 $3 S _{n} = \left( n + 2 \right) \times a _{n}$ $\left( n \geq 2 \right)$이다. $S _{1} = a _{1}$에서 $3 S _{1} = 3 a _{1}$이므로 $3 S _{n} = \left( n + 2 \right) \times a _{n}$ $\left( n \geq 1 \right)$ 이다. $3 a _{n}$$= 3 \left( S _{n} - S _{n - 1} \right)$ $= \left( n + 2 \right) \times a _{n} - \left( {\square {n + 1}} \right) \times a _{n - 1}$ $\left( n \geq 2 \right)$ $\left( n - 1 \right) \times a _{n} = \left( n + 1 \right) \times a _{n - 1}$이고 $a _{1} \ne 0$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} \ne 0$ $\displaystyle \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = {\square {\frac{n + 1}{n - 1}}}$ $\left( n \geq 2 \right)$ 따라서 $a _{10}$$\displaystyle = a _{1} \times \frac{a _{2}}{a _{1}} \times \frac{a _{3}}{a _{2}} \times \frac{a _{4}}{a _{3}} \times \cdots \times \frac{a _{9}}{a _{8}} \times \frac{a _{10}}{a _{9}}$$\displaystyle = 2 \times \frac{3}{1} \times \frac{4}{2} \times \frac{5}{3} \times \cdots \times \frac{10}{8} \times \frac{11}{9}$$= {\square {110}}$ $f \left( n \right) = n + 1$, $\displaystyle g \left( n \right) = \frac{n + 1}{n - 1}$, $p = 110$ 따라서 $\displaystyle \frac{f \left( p \right)}{g \left( p \right)} = \frac{111}{\frac{111}{109}} = 109$