부분분수 적분 극값

[출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 조건 (가)에서 $\displaystyle g' ( x ) = \frac{2 f ( x ) + 1}{\left\{ f ( x ) + 3 \right\} \left\{ f ( x ) - 2 \right\}}$의 그래프의 점근선이 $x = 0$$,$ $x = 5$이므로 ⑴ $f ( 0 ) + 3 = 0$이고 $f ( 5 ) - 2 = 0$일 때 $a = 1$$,$ $b = - 3$ ⑵ $f ( 0 ) - 2 = 0$이고 $f ( 5 ) + 3 = 0$일 때 $a = - 1$$,$ $b = 2$ $a > 0$이므로 $f ( x ) = x - 3$이다. $\displaystyle g' ( x ) = \frac{2 x - 5}{x ( x - 5 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 5}$라 하면 $\displaystyle \frac{Ax - 5 A + Bx}{x ( x - 5 )} = \frac{2 x - 5}{x ( x - 5 )}$이므로 $A = 1$$,$ $B = 1$ 따라서 $\displaystyle g' ( x ) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5}$ $g ( x )$$= \ln | x | + \ln | x - 5 | + C$ $= \ln | x ( x - 5 ) | + C$

조건 (나)에서 $0 < x < 5$에서 $g ( x ) = 0$인 해가 오직 하나이므로 $\displaystyle g \left( \frac{5}{2} \right) = \ln \frac{25}{4} + C = 0$ 따라서 $\displaystyle C = - \ln \frac{25}{4}$이고 $g ( x )$$\displaystyle = \ln | x ( x + 5 ) | - \ln \frac{25}{4}$$\displaystyle = \ln \left| \frac{4}{25} x ( x - 5 ) \right|$ $g ( x ) g' ( x )$가 $x = p$에서 극값을 가지므로 $g ( x ) g' ( x )$를 미분하면 $g' ( x ) g' ( x ) + g ( x ) g'' ( x )$$\displaystyle = \left( \frac{2 x - 5}{x ( x - 5 )} \right) ^{2} + \left\{ \ln \left| \frac{4}{25} x ( x - 5 ) \right| \right\} \frac{- 2 x ^{2} + 10 x - 25}{x ^{2} ( x - 5 ) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{x ^{2} ( x - 5 ) ^{2}} \left\{ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \left( 2 x - 5 \right) ^{2} \end{array} \right.$$\displaystyle + \left( - 2 x ^{2} + 10 x - 25 \right) \ln \left| \frac{4}{25} x ( x - 5 ) \right| \}$ 이고 $\displaystyle \left( 2 x - 5 \right) ^{2} + \left( - 2 x ^{2} + 10 x - 25 \right) \ln \left| \frac{4}{25} x ( x - 5 ) \right| = 0$ 이고 좌우에서 부호가 바뀌는 $x$값에서 극값을 갖는다. $\displaystyle \ln \left| \frac{4}{25} x ( x - 5 ) \right| = \frac{( 2 x - 5 ) ^{2}}{2 x ^{2} - 10 x + 25}$ $y = g ( x )$와 $\displaystyle y = \frac{( 2 x - 5 ) ^{2}}{2 x ^{2} - 10 x + 25}$의 그래프의 교점을 찾기 위해 $\displaystyle h ( x ) = \frac{( 2 x - 5 ) ^{2}}{2 x ^{2} - 10 x + 25}$라 두고 증감표를 작성하면

그림과 같이 $g ( x ) g' ( x )$는 $x = \alpha , \beta$에서 극값을 갖는다. $y = g ( x )$와 $y = h ( x )$가 모두 직선 $\displaystyle x = \frac{5}{2}$에 대하여 대칭이므로 극값을 갖는 $\alpha$$,$ $\beta$도 직선 $\displaystyle x = \frac{5}{2}$에 대하여 대칭인 위치에 존재한다. 따라서 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{5}{2}$에서 $k = \alpha + \beta = 5$ $\displaystyle g ( 10 ) = \ln \left( \frac{4}{25} \times 10 \times 5 \right) = \ln 8$ $k + e ^{g ( 10 )} = 5 + e ^{\ln 8} = 5 + 8 = 13$