대수수학적 귀납법AI아주 기초 (2점~3점 초반)

부분분수 합 과정의 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 ∑k=1n1(2k−1)(2k+1)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}을 구하는 과정이다.

1(2k−1)(2k+1)=12(12k−1−12k+1)\displaystyle \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} \right)이므로 ∑k=1n1(2k−1)(2k+1)=12{(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)}\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) \right\} =12(1−12n+1)=\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2 n + 1} \right) = (가)

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식은? [2점] ①n2n+1\displaystyle \frac{n}{2 n + 1}②n2n−1\displaystyle \frac{n}{2 n - 1}③2n2n+1\displaystyle \frac{2 n}{2 n + 1}④12n+1\displaystyle \frac{1}{2 n + 1}⑤n+12n+1\displaystyle \frac{n + 1}{2 n + 1}

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①

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해설

1−12n+1=2n2n+1\displaystyle 1 - \frac{1}{2 n + 1} = \frac{2 n}{2 n + 1}이므로 12(1−12n+1)=12×2n2n+1=n2n+1\displaystyle \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2 n + 1} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{2 n}{2 n + 1} = \frac{n}{2 n + 1} 따라서 답은 ①

태그

#빈칸 추론#부분분수#수열의 합

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