기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

보트와 자동차 최소 거리

문제

보트가 남쪽에서 북쪽으로 10m10 m/초의 등속도로 호수 위를 지나가고 있다. 수면 위 20m20 m의 높이에 동서로 놓인 다리 위를 자동차가 서쪽에서 동쪽으로 20m20 m/초의 등속도로 달리고 있다. 아래 그림과 같이 지금 보트는 수면 위의 점 PP에서 남쪽 40m40 m, 자동차는 다리 위의 점 Q\mathrm{Q}에서 서쪽 30m30 m 지점에 각각 위치해 있다. 보트와 자동차 사이의 거리가 최소가 될 때의 거리는? (단, 자동차와 보트의 크기는 무시하고, 선분 PQ\mathrm{PQ}는 보트와 자동차의 경로에 각각 수직이다.) [1.5점]

①21m21 m②24m24 m③27m27 m④30m30 m⑤33m33 m

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④

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해설

PP를 원점 O,O , 보트 자동차의 출발점을 각각 (40,0,0),( 40 , 0 , 0 ) , (0,−30,20)( 0 , - 30 , 20 )으로 하는 공간좌표를 정하면 tt초 후의 각각의 위치 A,BA , B는 A(40−10t,0,0),A ( 40 - 10 t , 0 , 0 ) , B(0,−30+20t,20)B ( 0 , - 30 + 20 t , 20 ) AB‾2=(40−10t)2+(−30+20t)2+202\displaystyle \overline{AB} ^{2} = ( 40 - 10 t ) ^{2} + ( - 30 + 20 t ) ^{2} + 20 ^{2} =100(t2−8t+16)+100(4t2−12t+9)+400= 100 ( t ^{2} - 8 t + 16 ) + 100 ( 4 t ^{2} - 12 t + 9 ) + 400 =100(5t2−20t+29)= 100 ( 5 t ^{2} - 20 t + 29 ) =100{5(t−2)2+9}= 100 \left\{ 5 ( t - 2 ) ^{2} + 9 \right\}≥900\geq 900 ∴AB‾≥30\displaystyle \therefore \overline{AB} \geq 30

태그

#공간좌표#두 점 사이의 거리

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