복소수 실수 조건 보기

[출제의도] 복소수의 성질 추론하기 ㄱ. $z ^{2} - z$는 실수이므로 $\displaystyle \overline{z ^{2} - z}$도 실수이다. (참) ㄴ. $z = a + b i$$( b \ne 0 )$에 대하여 $z ^{2} - z$$=$$a ^{2} + 2 a b i - b ^{2} - a - b i$ $= ( a ^{2} - a - b ^{2} ) + ( 2 a - 1 ) b i$ 이고 $z ^{2} - z$가 실수이고, $b \ne 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle z = \frac{1}{2} + b i$이고 $\displaystyle \overline{z} = \frac{1}{2} - b i$이므로 $\displaystyle z + \overline{z} = 1$이다. (참) ㄷ. $\displaystyle z = \frac{1}{2} + b i$이고 $\displaystyle \overline{z} = \frac{1}{2} - b i$이므로 $\displaystyle z \overline{z} = \frac{1}{4} + b ^{2}$이고 $b \ne 0$이므로 $\displaystyle z \overline{z} > \frac{1}{4}$이다. (참) <참고> ㄴ은 다음과 같은 두 방법으로 풀 수도 있다. (1) $\displaystyle \overline{z ^{2} - z}$가 실수이고, $\displaystyle \overline{z ^{2} - z} = \left( {\overline{z} ) ^{2} - \overline{z}} \right.$이므로 $z ^{2} - z$$\displaystyle = {\left( \overline{z} \right) ^{2}} - \overline{z}$가 성립한다. $\displaystyle z ^{2} - z - \left\{ \left( \overline{z} \right) ^{2} - \overline{z} \right\} = 0$에서 인수분해하면 $\displaystyle ( z - \overline{z} ) ( z + \overline{z} - 1 ) = 0$이고 $z$는 실수가 아니므로 $\displaystyle z \ne \overline{z}$이다. 따라서 $\displaystyle z + \overline{z} = 1$이다. (참) (2) $z ^{2} - z = k$(단, $k$는 실수)라 하면 $\displaystyle \left( \overline{z} \right) ^{2} - \overline{z} = k$이므로 $z$, $\displaystyle \overline{z}$는 이차방정식 $x ^{2} - x - k = 0$의 두 근이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle z + \overline{z} = 1$이다. (참)