복소수 식의 값

[출제의도] 복소수 연산을 통해 식의 값 문제 해결하기 $\displaystyle \alpha = \frac{1 + i}{2 i} {}$에서 $\displaystyle \alpha ^{2} = \frac{2 i}{- 4} = - \frac{i}{2}$ 이고, $\displaystyle \beta = \frac{1 - i}{2 i}$에서 $\displaystyle \beta ^{2} = \frac{- 2 i}{- 4} = \frac{i}{2}$ 이므로 $2 \alpha ^{2} = - i$, $2 \beta ^{2} = i$이다. 따라서 $( 2 \alpha ^{2} + 3 ) ( 2 \beta ^{2} + 3 ) = ( 3 - i ) ( 3 + i ) = 10$ 이다. [다른 풀이] $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{2}{2 i} = \frac{1}{i} = - i$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$이고 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta = 0$이므로 $\left( 2 \alpha ^{2} + 3 \right) \left( 2 \beta ^{2} + 3 \right) = 4 \left( \alpha \beta \right) ^{2} + 6 \left( \alpha ^{2} + \beta ^{2} \right) + 9$ $\displaystyle = 4 \times \frac{1}{4} + 6 \times 0 + 9 = 10$ 이다.