복소수 거듭제곱 주기

[출제의도] 복소수를 계산하여 복소수의 거듭제곱이 갖는 값을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle z = \frac{3 + \sqrt{2} i}{\sqrt{2} - 3 i}$$\displaystyle = \frac{( 3 + \sqrt{2} i ) ( \sqrt{2} + 3 i )}{( \sqrt{2} - 3 i ) ( \sqrt{2} + 3 i )}$$= i$ $\displaystyle \omega = \frac{i \{ 1 - ( - i ) \}}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{i ( 1 + i )}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{- 1 + i}{\sqrt{2}}$ $\displaystyle \omega ^{2} = \left( \frac{- 1 + i}{\sqrt{2}} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{- 2 i}{2} = - i$ ∴ $\omega ^{4} = - 1$, $\omega ^{8} = 1$ 따라서 $n$이 $8$의 배수일 때 $\omega ^{n} = 1$이다. 구하는 자연수 $n$은 $8 , 16 , 24 , \cdots , 96$이므로 $12$개이다.