복이차식이 인수분해되는 계수의 합

(ⅰ) $x ^{2} = X$로 놓은 $X ^{2} + aX + 25$가 인수분해되는 경우 $( X + p ) ( X + q )$ ($p$, $q$는 정수)로 놓으면 $pq = 25$, $p + q = a > 0$이므로 $( p , q ) = ( 1 , 25 )$ 또는 $( 5 , 5 )$ $p = q = 5$이면 $( x ^{2} + 5 ) ^{2}$이 되어 두 인수가 같으므로 제외 따라서 $a = 26$ (ⅱ) $A ^{2} - B ^{2}$ 꼴로 변형하는 경우 $x ^{4} + ax ^{2} + 25 = ( x ^{2} + 5 ) ^{2} - ( 10 - a ) x ^{2}$ 이므로 $10 - a = k ^{2}$ ($k$는 자연수)이면 $( x ^{2} + kx + 5 ) ( x ^{2} - kx + 5 )$로 인수분해된다. $a > 0$에서 $k ^{2} < 10$이므로 $k = 1 , 2 , 3$, 즉 $a = 9 , 6 , 1$ $( x ^{2} - 5 ) ^{2} - ( - 10 - a ) x ^{2}$ 꼴은 $- 10 - a > 0$에서 $a < 0$이 되어 제외 (ⅰ), (ⅱ)에서 가능한 $a$의 값은 $26 , 9 , 6 , 1$ 따라서 구하는 합은 $26 + 9 + 6 + 1 = 42$이다. ④