공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

복이차식 인수분해로 분수식의 값 구하기

문제

$\displaystyle \frac{( 2 ^{4} + 2 ^{2} + 1 ) ( 4 ^{4} + 4 ^{2} + 1 ) ( 6 ^{4} + 6 ^{2} + 1 )}{( 1 ^{4} + 1 ^{2} + 1 ) ( 3 ^{4} + 3 ^{2} + 1 ) ( 5 ^{4} + 5 ^{2} + 1 )}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$n ^{4} + n ^{2} + 1 = ( n ^{2} + 1 ) ^{2} - n ^{2} = ( n ^{2} + n + 1 ) ( n ^{2} - n + 1 )$ $f ( n ) = n ^{2} - n + 1$ 이라 하면 $f ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ^{2} - ( n + 1 ) + 1 = n ^{2} + n + 1$ 이므로 $n ^{4} + n ^{2} + 1 = f ( n ) f ( n + 1 )$ 분자는 $f ( 2 ) f ( 3 ) \cdot f ( 4 ) f ( 5 ) \cdot f ( 6 ) f ( 7 )$ 분모는 $f ( 1 ) f ( 2 ) \cdot f ( 3 ) f ( 4 ) \cdot f ( 5 ) f ( 6 )$ 이므로 주어진 식의 값은 $\displaystyle \frac{f ( 7 )}{f ( 1 )}$ $f ( 7 ) = 49 - 7 + 1 = 43$ , $f ( 1 ) = 1$ 따라서 구하는 값은 $43$ 이다.

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