공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

복이차방정식

문제

$x$ 에 대한 사차방정식 $x ^{4} - \left( 2 a - 9 \right) x ^{2} + 4 = 0$ 이 서로 다른 네 실근 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ ( $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ )를 가진다. $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 5$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 사차방정식 이해하기 주어진 사차방정식은 $x = \alpha$ 를 근으로 가지면 $x = \mathit{-} \alpha$ 도 근으로 가지므로 양의 실근 $2$ 개, 음의 실근 $2$ 개를 가짐을 알 수 있고 서로 다른 네 실근을 $\alpha$ , $\beta$ , $- \beta$ ( $= \gamma$ ), $- \alpha$ ( $= \delta$ ) ( $\alpha < \beta < 0$ ) 으로 둘 수 있다. $x ^{2} = X$ 라 하면 주어진 사차방정식은 $X ^{2} - ( 2 a - 9 ) X + 4 = 0$ 이고 두 근은 $\alpha ^{2}$ , $\beta ^{2}$ 이다. 따라서 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 2 a - 9 = 5$ 이므로 $a = 7$ 이다.

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