빈칸 추론 내분점

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( 0 , 1 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}$이 있다. 양수 $n$과 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 선분 $\mathrm{OA}$를 $1 : n$으로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{OB}$를 $1 : n$으로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$, 선분 $\mathrm{AQ}$와 선분 $\mathrm{BP}$가 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하자. 다음은 사각형 $\mathrm{POQR}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{1}{42}$일 때, $n$의 값을 구하는 과정이다.

점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{1}{n + 1} \right)$, 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1}{n + 1} , 0 \right)$이다. 직선 $\mathrm{AQ}$의 방정식은 $y$$= \mathit{-} \left( n + 1 \right) x + 1$, 직선 $\mathrm{BP}$의 방정식은 $y$$\displaystyle = {\square {\left( \text{가} \right)}} \times x + \frac{1}{n + 1}$이다. 두 직선 $\mathrm{AQ}$, $\mathrm{BP}$가 만나는 점 $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 ${\square {\left( \text{나} \right)}}$이고 삼각형 $\mathrm{POR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{n + 1} \times {\square {\left( \text{나} \right)}}$이다. 두 삼각형 $\mathrm{POR}$과 삼각형 $\mathrm{QOR}$에서 선분 $\mathrm{OR}$가 공통이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OQ}}}$, $\angle \mathrm{POR}$$= \angle \mathrm{QOR}$이므로 삼각형 $\mathrm{POR}$과 삼각형 $\mathrm{QOR}$는 합동이다. 따라서 사각형 $\mathrm{POQR}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{POR}$의 넓이의 $2$배이므로 $n$$= {\square {\left( \text{다} \right)}}$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f \left( n \right)$, $g \left( n \right)$이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$라 할 때, $\displaystyle \frac{g \left( k \right)}{f \left( k \right)}$의 값은? [4점] ①$\displaystyle - \frac{5}{7}$②$\displaystyle - \frac{6}{7}$③$- 1$④$\displaystyle - \frac{8}{7}$⑤$\displaystyle - \frac{9}{7}$