빈칸 추론 합성함수

[출제의도] 합성함수의 성질을 이용하여 정육각형 위를 움직이는 점의 위치를 추론한다. $\displaystyle {\left( f \circ f \right) ( a ) = f ( f ( a ) ) = \frac{9}{32}}$에서 ${f ( a ) = b}$라 하면 $\displaystyle {f ( b ) = \frac{9}{32}}$ 이다. 함수 ${f ( x )}$가 삼각형 ${\mathrm{PFA}}$의 넓이이므로 함수 ${f ( x )}$는 점 ${\mathrm{P}}$가 선분 ${\mathrm{CD}}$에 있을 때 최댓값을 갖는다. 선분 ${\mathrm{AC}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하면 직각삼각형 ${\mathrm{MAB}}$에서 ${\angle \mathrm{MAB}}$${= 30 ^\circ}$이므로 $\displaystyle {{\overline{\mathrm{AC}}}}$$\displaystyle {= 2 {\overline{\mathrm{AM}}}}$$\displaystyle {= 2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \cos 30 ^\circ}$$\displaystyle {= 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$$\displaystyle {= \sqrt{3}}$ 함수 ${f ( x )}$의 최댓값은 $\displaystyle {\frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{FA}} \times {\overline{AC}}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3}}$$\displaystyle {= {\square {\frac{{\sqrt{3}} ^{}}{2}}}}$ 이므로 $\displaystyle {0 < b \leq \frac{\sqrt{3}}{2}}$이다. 점 ${\mathrm{P}}$가 점 ${\mathrm{A}}$로부터 움직인 거리가 ${b}$인 점을 ${\mathrm{Q}}$라 하면 점 ${\mathrm{Q}}$는 선분 ${\mathrm{AB}}$ 위에 있고, 삼각형 ${\mathrm{QFA}}$의 넓이는 $\displaystyle {\frac{9}{32}}$이다. 점 ${\mathrm{Q}}$에서 직선 ${\mathrm{FA}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 삼각형 ${\mathrm{QFA}}$의 넓이는 $\displaystyle {\frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{FA}} \times {\overline{QH}}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 1 \times \mathrm{\overline{QH}}}$$\displaystyle {= \frac{9}{32}}$ 이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{QH}} = \frac{9}{16}}$

[그림 1]

[그림 1]의 직각삼각형 ${\mathrm{QAH}}$에서 ${\angle \mathrm{QAH} = 60 ^\circ}$이므로 ${b}$$\displaystyle {= {\overline{\mathrm{AQ}}}}$$\displaystyle {= {\overline{\mathrm{QH}}} \times \frac{1}{\sin 60 ^\circ}}$$\displaystyle {= \frac{9}{16} \times \frac{2}{\sqrt{3}}}$$\displaystyle {= {\square {\frac{3 {\sqrt{3}} ^{}}{8}}}}$ 같은 방법으로 $\displaystyle {f ( a ) = \frac{3 \sqrt{3}}{8}}$을 만족시키는 ${a}$의 값을 구하자. 점 ${\mathrm{P}}$가 점 ${\mathrm{A}}$로부터 움직인 거리가 ${a}$인 점을 ${\mathrm{R}}$라 하고, 점 ${\mathrm{R}}$에서 직선 ${\mathrm{FA}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{I}}$라 하면 삼각형 ${\mathrm{RFA}}$의 넓이는 $\displaystyle {\frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{FA}} \times {\overline{RI}}}$이므로 ${f ( a )}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \mathrm{1} \times {\overline{RI}}}$$\displaystyle {= \frac{3 \sqrt{3}}{8}}$에서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{RI}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}}$이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{RI}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}}$이 되는 점 ${\mathrm{R}}$의 위치는 [그림 2]의 ${\mathrm{R} _{1}}$, ${\mathrm{R} _{2}}$이다.

[그림 2]

점 ${\mathrm{R}}$의 위치가 ${\mathrm{R} _{1}}$일 때, $\displaystyle {a = {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{BR} _{1}}}}$이다. 점 ${\mathrm{R} _{1}}$에서 직선 ${\mathrm{CD}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H} _{1}}$이라 하면 직각삼각형 ${\mathrm{R} _{1} CH _{1}}$에서 ${\angle \mathrm{R} _{1} CH _{1} = 60 ^\circ}$이므로 ${a}$$\displaystyle {= {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{BR} _{1}}}}$ $\displaystyle {= {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{BC}}} - {\overline{\mathrm{R} _{1} C}}}$ $\displaystyle {= 1 + 1 - {\overline{\mathrm{R} _{1} H _{1}}} \times \frac{1}{\sin 60 ^\circ}}$ $\displaystyle {= 2 - \left( \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} \right) {\times} \frac{2}{\sqrt{3}}}$ $\displaystyle {= 2 - \frac{1}{2}}$$\displaystyle {= \frac{3}{2}}$ ${0 < x < 5}$인 모든 실수 ${x}$에 대하여 ${f ( x ) = f \left( 5 - x \right)}$가 성립하므로 점 ${\mathrm{R}}$의 위치가 ${\mathrm{R} _{2}}$일 때의 실수 ${a}$의 값은 $\displaystyle {5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}}$이다. 즉, $\displaystyle {a = \frac{3}{2}}$ 또는 $\displaystyle {a = \frac{7}{2}}$ 따라서 $\displaystyle {\left( f {\circ} f \right) ( a ) = \frac{9}{32}}$를 만족시키는 모든 실수 ${a}$(${0 < a < 5}$)의 값의 곱은 $\displaystyle {\frac{3}{2} \times \frac{7}{2}}$$\displaystyle {= {\square {\frac{21 ^{}}{4}}}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle {p = \frac{\sqrt{3}}{2}}$, $\displaystyle {q = \frac{3 \sqrt{3}}{8}}$, $\displaystyle {r = \frac{21}{4}}$이므로 $\displaystyle {\frac{r}{p \times q}}$$\displaystyle {= \frac{\frac{21}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8}}}$$\displaystyle {= \frac{28}{3}}$