대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

빈칸 추론 등비합

문제

실수 aa(a>1)\left( a > 1 \right)과 자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 두 함수 y=3axy = 3 a ^{x}, y=3ax−1y = 3 a ^{x - 1} 의 그래프와 만나는 점을 각각 Pn\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 하자. 선분 PnQn\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 길이를 lnl _{n}, 사다리꼴 PnQnQn+2Pn+2\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n} + 2} \mathrm{P} _{\mathit{n} + 2}의 넓이를 SnS _{n}이라 하자. 두 실수 LL, SS에 대하여 ∑k=120lk=L\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} l _{k} = L, ∑k=15S4k−3=S\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} S _{4 k - 3} = S일 때, 다음은 SL=25\displaystyle \frac{S}{L} = \frac{2}{5}를 만족시키는 aa의 값을 구하는 과정이다.

두 점 Pn\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 좌표는 각각 (n,3an)\left( n , 3 a ^{n} \right), (n,3an−1)\left( n , 3 a ^{n - 1} \right) 선분 PnQn\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 길이 lnl _{n}은 lnl _{n}=3(a−1)×an−1= 3 \left( a - 1 \right) \times a ^{n - 1}이므로 L=∑k=120lk=3×(□(가))\displaystyle L = \sum\limits _{k = 1} ^{20} l _{k} = 3 \times \left( {\square {( \text{가} )}} \right)이다. 사다리꼴 PnQnQn+2Pn+2\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n} + 2} \mathrm{P} _{\mathit{n} + 2}의 넓이 SnS _{n}은 Sn=3(a−1)×(an−1+an+1)S _{n} = 3 \left( a - 1 \right) \times \left( a ^{n - 1} + a ^{n + 1} \right)이므로 SS=∑k=15S4k−3\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} S _{4 k - 3} =S1+S5+S9+S13+S17= S _{1} + S _{5} + S _{9} + S _{13} + S _{17} =3(□(나))×(□(가))\displaystyle = \frac{3}{\left( {\square {( \text{나} )}} \right)} \times \left( {\square {( \text{가} )}} \right)이다. 따라서 이므로 a=□(다)a = {\square {( \text{다} )}}이다.
33×(□(가))\times \left( {\square {( \text{가} )}} \right)11
SL\displaystyle \frac{S}{L}==(□(나))\left( {\square {( \text{나} )}} \right)====25\displaystyle \frac{2}{5}
3×(□(가))3 \times \left( {\square {( \text{가} )}} \right)(□(나))\left( {\square {( \text{나} )}} \right)

이므로 a=□(다)a = {\square {( \text{다} )}}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(a)f \left( a \right), g(a)g \left( a \right)라 하고, (다)에 알맞은 수를 pp라 할 때, f(2)g(20p)\displaystyle \frac{f \left( \sqrt{2} \right)}{g \left( 20 p \right)}의 값은? [44점] ①2424②2727③3030④3333⑤3636

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 추론하기 두 점 Pn\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 좌표는 각각 (n,3an)\left( n , 3 a ^{n} \right), (n,3an−1)\left( n , 3 a ^{n - 1} \right) 선분 PnQn\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} \mathit{_{n}}의 길이 lnl _{n}은 lnl _{n}=3(a−1)×an−1= 3 \left( a - 1 \right) \times a ^{n - 1}이므로 LL=∑k=120lk=3(a−1)∑k=120ak−1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{20} l _{k} = 3 \left( a - 1 \right) \sum\limits _{k = 1} ^{20} a ^{k - 1} =3(a−1)×a20−1a−1\displaystyle = 3 \left( a - 1 \right) \times \frac{a ^{20} - 1}{a - 1}=3×(□a20−1)= 3 \times \left( {\square {a ^{20} - 1}} \right)이다. 사다리꼴 PnQnQn+2Pn+2\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n} + 2} \mathrm{P} _{\mathit{n} + 2}의 넓이 SnS _{n}은 Sn=3(a−1)×(an−1+an+1)S _{n} = 3 \left( a - 1 \right) \times \left( a ^{n - 1} + a ^{n + 1} \right)이므로 SS=∑k=15S4k−3\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} S _{4 k - 3}=S1+S5+S9+S13+S17= S _{1} + S _{5} + S _{9} + S _{13} + S _{17} =3(a−1)(1+a2+a4+⋯+a18)= 3 \left( a - 1 \right) \left( 1 + a ^{2} + a ^{4} + \cdots + a ^{18} \right) =3(a−1)×(a2)10−1a2−1\displaystyle = 3 \left( a - 1 \right) \times \frac{\left( a ^{2} \right) ^{10} - 1}{a ^{2} - 1}=3(□a+1)×(□a20−1)\displaystyle = \frac{3}{\left( {\square {a + 1}} \right)} \times \left( {\square {a ^{20} - 1}} \right)이다. 따라서

3(□a+1)×(□a20−1)\displaystyle \frac{3}{\left( {\square {a + 1}} \right)} \times \left( {\square {a ^{20} - 1}} \right)
SL\displaystyle \frac{S}{L}==
3×(□a20−1)3 \times \left( {\square {a ^{20} - 1}} \right)
==11==25\displaystyle \frac{2}{5}
(□a+1)\left( {\square {a + 1}} \right)

이므로 a=□32\displaystyle a = {\square {\frac{3}{2}}}이다. 따라서 f(2)g(20p)=102331=33\displaystyle \frac{f \left( \sqrt{2} \right)}{g \left( 20 p \right)} \mathit{=} \frac{1023}{31} = 33

태그

#빈칸 추론#등비수열의 합#지수함수

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 등차수열과 등비수열 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로