미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

법선이 세 점에서 만남

문제

삼차함수 f(x)=x(x−1)(ax+1)f ( x ) = x ( x - 1 ) ( ax + 1 )의 그래프 위의 점 P(1,0)\mathrm{P} ( 1 , 0 )을 접점으로 하는 접선을 ll이라 하자. 직선 ll에 수직이고 점 P\mathrm{P}를 지나는 직선이 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 aa의 값의 범위는? [3점] ①−1<a<−13\displaystyle - 1 < a < - \frac{1}{3} 또는 0<a<10 < a < 1②−13<a<0\displaystyle - \frac{1}{3} < a < 0 또는 0<a<10 < a < 1③−1<a<0- 1 < a < 0 또는 0<a<13\displaystyle 0 < a < \frac{1}{3}④−1<a<0- 1 < a < 0 또는 13<a<1\displaystyle \frac{1}{3} < a < 1⑤−2<a<−13\displaystyle - 2 < a < - \frac{1}{3} 또는 13<a<2\displaystyle \frac{1}{3} < a < 2

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③

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해설

P(1,0)\mathrm{P} ( 1 , 0 )에서 법선의 방정식을 구하면 f′(1)=a+1f' ( 1 ) = a + 1이므로 y=−1a+1(x−1)\displaystyle y = - \frac{1}{a + 1} ( x - 1 ) (단, a≠−1a \ne - 1) ㉠ (∵ f′(1)=0f' ( 1 ) = 0이면 법선이 xx축에 수직이 되어 부적합) ㉠과 y=f(x)y = f ( x )가 서로 다른 세 점에서 만나므로 x(x−1)(ax+1)=−1a+1(x−1)\displaystyle x ( x - 1 ) ( ax + 1 ) = - \frac{1}{a + 1} ( x - 1 ) 이것이 서로 다른 세 실근을 갖는다. (x−1){x(ax+1)+1a+1}=0\displaystyle ( x - 1 ) \left\{ x ( ax + 1 ) + \frac{1}{a + 1} \right\} = 0 ax2+x+1a+1=0\displaystyle ax ^{2} + x + \frac{1}{a + 1} = 0이 x=1x = 1인 근을 갖지 않으므로, 서로 다른 두 실근을 가지면 된다. a(a+1)x2+(a+1)x+1=0a ( a + 1 ) x ^{2} + ( a + 1 ) x + 1 = 0 D=(a+1)2−4a(a+1)>0D = ( a + 1 ) ^{2} - 4 a ( a + 1 ) > 0 (a+1)(3a−1)<0( a + 1 ) ( 3 a - 1 ) < 0 ∴ −1<a<13\displaystyle - 1 < a < \frac{1}{3} 이때 a≠0a \ne 0 이므로 −1<a<0- 1 < a < 0 또는 0<a<13\displaystyle 0 < a < \frac{1}{3}

태그

#접선#삼차함수

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