법선과 원의 현 적분

[출제의도] 정적분 문제해결하기 점 $P ( t , \ln t )$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{t}$이므로 $l : y = - t ( x - t ) + \ln t$ 직선 $l$과 $( 0 , \ln t )$와의 거리가 $\displaystyle \frac{t ^{2}}{\sqrt{t ^{2} + 1}}$이므로 $\displaystyle f ( t ) = 2 \sqrt{t ^{2} - \left( \frac{t ^{2}}{\sqrt{t ^{2} + 1}} \right) ^{2}} = \frac{2 t}{\sqrt{t ^{2} + 1}}$ $\displaystyle \int _{\sqrt{3}} ^{\sqrt{8}} {f ( t ) dt} = \int _{\sqrt{3}} ^{\sqrt{8}} {\frac{2 t}{\sqrt{t ^{2} + 1}} dt}$ $t ^{2} + 1 = x$라 두면 $\displaystyle 2 t = \frac{dx}{dt}$이고 $\displaystyle \int _{\sqrt{3}} ^{\sqrt{8}} {\frac{2 t}{\sqrt{t ^{2} + 1}} dt} = \int _{4} ^{9} {\frac{1}{\sqrt{x}} dx} = \left[ 2 \sqrt{x} \right] _{4} ^{9} = 2$