벡터로 나타낸 원과 직선

[출제의도] 위치벡터의 성분과 벡터의 내적, 벡터의 연산을 이용하여 좌표평면 위의 위치벡터의 종점이 그리는 도형의 방정식을 구할 수 있는가? ${\vec{p}} = \left( x , y \right)$, ${\vec{q}} = \left( x' , y' \right)$이라 하고 $\mathrm{A} \left( 2 , 4 \right)$, $\mathrm{B} \left( 2 , 8 \right)$, $\mathrm{C} \left( 1 , 0 \right)$, $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , y \right)$, $\mathrm{Q} \left( \mathit{x}' , y' \right)$이라 하자. $\left( {\vec{p}} - {\vec{a}} \right) \bullet \left( {\vec{p}} - {\vec{b}} \right) = 0$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} \perp \overline{\mathrm{PB}}$ 이다. 그러므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$을 지름으로 하는 원 위를 움직인다. 즉, 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점인 점 $\mathrm{M} \left( 2 , 6 \right)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 위에 있다. 한편, ${\vec{q}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\vec{a}} + t {\vec{c}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 2 , 4 \right) + t \left( 1 , 0 \right)$$= \left( 1 + t , 2 \right)$ 이므로 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $y = 2$ 위에 있다. 이때 $\left| {\vec{p}} - {\vec{q}} \right|$의 값은 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리와 같고 다음 그림과 같이 점 $\mathrm{M}$에서 직선 $y = 2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}'$이라 하면 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$에 있고, 점 $\mathrm{Q}$가 점 $\mathrm{Q}'$에 있을 때 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 최소가 된다.

이때 $\mathrm{A} \left( 2 , 4 \right)$, $\mathrm{Q}' \left( 2 , 2 \right)$이므로 $\displaystyle \left| {\vec{p}} - {\vec{q}} \right| = {\overline{\mathrm{PQ}}} \geq \overline{\mathrm{AQ}'} = 2$ 따라서 구하는 최솟값은 $2$이다.