기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

벡터로 나타낸 원

문제

좌표평면 위의 점 A(3,0){\mathrm{A}} \mathit{(} 3 , 0 )에 대하여 (OP⃗−OA⃗)∙(OP⃗−OA⃗)=5( {\vec{{\mathrm{OP}}}} - {\vec{{\mathrm{OA}}}} ) \bullet ( {\vec{{\mathrm{OP}}}} - {\vec{{\mathrm{OA}}}} ) = 5 를 만족시키는 점 P{\mathrm{P}}가 나타내는 도형과 직선 y=12x+k\displaystyle y = \frac{1}{2} x + k가 오직 한 점에서 만날 때, 양수 kk의 값은? (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.) [3점] ①35\displaystyle \frac{3}{5}②45\displaystyle \frac{4}{5}③1\mathrm{1}④65\displaystyle \frac{6}{5}⑤75\displaystyle \frac{7}{5}

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③

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해설

OP⃗=(x,y){\mathrm{\vec{OP}}} \mathit{=} ( x , y )라 하면 OP⃗−OA⃗=(x−3,y)\mathrm{\vec{OP}} \mathit{-} \mathrm{\vec{OA}} = \mathit{(} x - 3 , y )이므로 (x−3,y)∙(x−3,y)=5( x - 3 , y ) \bullet ( x - 3 , y ) = 5 에서 점 PP는 원 (x−3)2+y2=5( x - 3 ) ^{2} + y ^{2} = 5위의 점이다. 원과 직선 y=12x+k\displaystyle y = \frac{1}{2} x + k가 접하면 되므로 원의 중심 (3,0)( 3 , 0 )과 직선 x−2y+2k=0x - 2 y + 2 k = 0 사이의 거리가 반지름의 길이 5\displaystyle \sqrt{5}와 같으면 된다. ∣3+2k∣5=5\displaystyle \frac{\left| 3 + 2 k \right|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} 2k+3=±52 k + 3 = \pm 5 ∴k=1(∵k>0)\therefore k = 1 ( \because k > 0 )

태그

#내적#원의 방정식

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