기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터로 증명하기

문제

다음은 ∠A=π2\displaystyle \angle {\mathrm{A}} \mathit{=} \frac{\pi}{2}인 직각삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}에서 변 BC{\mathrm{BC}}의 삼등분 점을 각각 D{\mathrm{D}}와 E{\mathrm{E}}라고 할 때, AD‾2+AE‾2+DE‾2=23BC‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{AD} \mathit{^{}}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AE} \mathit{^{}}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DE} \mathit{^{}}}} ^{2} = \frac{2}{3} {\overline{\mathrm{BC} \mathit{^{}}}} ^{2}이 성립함을 벡터를 이용하여 증명한 것이다.

AB⃗=a⃗{\vec{{\mathrm{AB}}}} = {\vec{a}}, AC⃗=b⃗{\vec{{\mathrm{AC}}}} = {\vec{b}}로 놓으면 BC⃗=b⃗−a⃗{\vec{{\mathrm{BC}}}} = {\vec{b}} - {\vec{a}}이고 다음이 성립한다. AD⃗{\vec{{\mathrm{AD}}}}==□(가){\square {\left( \text{가} \right)}} AE⃗={\vec{{\mathrm{AE}}}} =□(나){\square {\left( \text{나} \right)}} DE⃗=13BC⃗=13(b⃗−a⃗)\displaystyle {\vec{{\mathrm{DE}}}} = \frac{1}{3} {\vec{{\mathrm{BC}}}} = \frac{1}{3} ( {\vec{b}} - {\vec{a}} ) 그러므로 다음을 얻는다. ∣AD⃗∣2\left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| ^{2}==□(다){\square {\left( \text{다} \right)}} ∣AE⃗∣2=\left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| ^{2} =□(라){\square {\left( \text{라} \right)}} ∣DE⃗∣2=19(∣a⃗∣2−2a⃗∙b⃗+∣b⃗∣2)\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{DE}}} \right| ^{2} = \frac{1}{9} \left( \left| {\vec{a}} \right| ^{2} - 2 {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} + \left| {\vec{b}} \right| ^{2} \right) ∣AD⃗∣2+∣AE⃗∣2+∣DE⃗∣2=23(∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+a⃗∙b⃗)\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{DE}}} \right| ^{2} = \frac{2}{3} \left( \left| {\vec{a}} \right| ^{2} + \left| {\vec{b}} \right| ^{2} + {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} \right) ∣BC⃗∣2=∣b⃗∣2+∣a⃗∣2−2a⃗∙b⃗\left| {\vec{\mathrm{BC}}} \right| ^{2} = \left| {\vec{b}} \right| ^{2} + \left| {\vec{a}} \right| ^{2} - 2 {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} 이때, a⃗⊥b⃗{\vec{a}} \perp {\vec{b}}이므로 a⃗∙b⃗=0{\vec{a}} \bullet {\vec{b}} = 0이고 다음이 성립한다. ∣AD⃗∣2+∣AE⃗∣2+∣DE⃗∣2=23∣BC⃗∣2\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{DE}}} \right| ^{2} = \frac{2}{3} \left| {\vec{\mathrm{BC}}} \right| ^{2} 따라서 AD‾2+AE‾2+DE‾2=23BC‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{AD} \mathit{^{}}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AE} \mathit{^{}}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DE} \mathit{^{}}}} ^{2} = \frac{2}{3} {\overline{\mathrm{BC} \mathit{^{}}}} ^{2}이다.

위의 증명에서 (가)와 (라)에 알맞은 것은? [3점]

(가)(라)
①23a⃗+13b⃗\displaystyle \frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}}19(∣a⃗∣2+4a⃗∙b⃗+4∣b⃗∣2)\displaystyle \frac{1}{9} \left( \left| {\vec{a}} \right| ^{2} + 4 {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} + 4 \left| {\vec{b}} \right| ^{2} \right)
②23a⃗+13b⃗\displaystyle \frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}}19(4∣a⃗∣2+4a⃗∙b⃗+∣b⃗∣2)\displaystyle \frac{1}{9} \left( 4 \left| {\vec{a}} \right| ^{2} + 4 {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} + \left| {\vec{b}} \right| ^{2} \right)
③23a⃗+13b⃗\displaystyle \frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}}19(∣a⃗∣2+2a⃗∙b⃗+∣b⃗∣2)\displaystyle \frac{1}{9} \left( \left| {\vec{a}} \right| ^{2} + 2 {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} + \left| {\vec{b}} \right| ^{2} \right)
④13a⃗+23b⃗\displaystyle \frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{2}{3} {\vec{b}}19(∣a⃗∣2+4a⃗∙b⃗+4∣b⃗∣2)\displaystyle \frac{1}{9} \left( \left| {\vec{a}} \right| ^{2} + 4 {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} + 4 \left| {\vec{b}} \right| ^{2} \right)
⑤13a⃗+23b⃗\displaystyle \frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{2}{3} {\vec{b}}19(4∣a⃗∣2+4a⃗∙b⃗+∣b⃗∣2)\displaystyle \frac{1}{9} \left( 4 \left| {\vec{a}} \right| ^{2} + 4 {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} + \left| {\vec{b}} \right| ^{2} \right)
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①

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해설

AB⃗=a⃗,AC⃗=b⃗\mathrm{\vec{AB}} = {\vec{\mathit{a}}} , {\mathrm{\vec{AC}}} = \mathit{\vec{b}}로 놓으면BC⃗=b⃗−a⃗\mathrm{\vec{BC}} = {\vec{\mathit{b}}} - {\vec{\mathit{a}}}이고, AD⃗=AB⃗+BD⃗\mathrm{\vec{AD}} = {\vec{AB}} + {\vec{BD}}=a⃗+13(b⃗−a⃗)\displaystyle = {\vec{a}} + \frac{1}{3} \left( {\vec{b}} - {\vec{a}} \right)=□23a⃗+13b⃗\displaystyle = {\square {\frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}}}} AE⃗=AB⃗+BE⃗\mathrm{\vec{AE}} = {\vec{AB}} + {\vec{BE}}=a⃗+23(b⃗−a⃗)\displaystyle = {\vec{a}} + \frac{2}{3} \left( {\vec{b}} - {\vec{a}} \right)=□13a⃗+23b⃗\displaystyle = {\square {\frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{2}{3} {\vec{b}}}} ∴\therefore∣AD⃗∣2\mathrm{\left| {\vec{AD}} \right|} ^{2}=∣23a⃗+13b⃗∣2\displaystyle = \mathit{\left| \frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}} \right|} ^{2}=(23a⃗+13b⃗)⋅(23a⃗+13b⃗)\displaystyle = \left( \frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}} \right) =□19(4∣a⃗∣2+4a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2)\displaystyle = {\square {\frac{1}{9} \left( 4 | {\vec{a}} \right| ^{2} + 4 {\vec{a}} \cdot {\vec{b}} + \left| {\vec{b}} \right| ^{2} )}} ∣AE⃗∣2\mathrm{\left| {\vec{AE}} \right|} ^{2}=∣13a⃗+23b⃗∣2\displaystyle = \left| \frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{2}{3} {\vec{b}} \right| ^{2}=(13a⃗+23b⃗)⋅(13a⃗+23b⃗)\displaystyle = \left( \frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{2}{3} {\vec{b}} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{2}{3} {\vec{b}} \right) =□19(∣a⃗∣2+4a⃗⋅b⃗+4∣b⃗∣2)\displaystyle = {\square {\frac{1}{9} \left( | {\vec{a}} \right| ^{2} + 4 {\vec{a}} \cdot {\vec{b}} + 4 \left| {\vec{b}} \right| ^{2} )}} 따라서, (가)와 (라)에 알맞은 것은 23a⃗+13b⃗\displaystyle \frac{2}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}}와 19(∣a⃗∣2+4a⃗⋅b⃗+4∣b⃗∣2)\displaystyle \left. \frac{1}{9} \left( | {\vec{a}} \right| ^{2} + 4 {\vec{a}} \cdot {\vec{b}} + 4 \left| {\vec{b}} \right| ^{2} \right)이다.

태그

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