벡터로 정의된 도형

[출제의도] 벡터의 연산을 이용하여 추론하기 점 $\mathrm{O}$에서 포물선 $y ^{2} = 2 x - 2$에 그은 접선의 방정식을 $y = ax$라 하자. $\left( ax \right) ^{2} = 2 x - 2$에서 $a ^{2} x ^{2} - 2 x + 2 = 0$ 이차방정식 $a ^{2} x ^{2} - 2 x + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - 2 a ^{2} = 0$에서 $\displaystyle a = \mathit{\pm} \frac{\sqrt{2}}{2}$ 중심이 점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $k$인 원이 직선 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$와 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$, 직선 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{\sqrt{2}}{2} x$와 제$4$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\displaystyle {\vec{\mathrm{OY}}} = \frac{\mathit{k}}{\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| ^{}} {\vec{\mathrm{OP}}}$를 만족시키는 점 $\mathrm{Y}$에 대하여 $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{OY}}} \right| = \left| \frac{\mathit{k}}{\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| ^{}} {\vec{\mathrm{OP}}} \right| = \frac{\mathit{\left| k \right|}}{\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| ^{}} \times \left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| = k$ 이므로 점 $\mathrm{Y}$가 나타내는 도형은 부채꼴 $\mathrm{OCB}$의 호 $\mathrm{CB}$이다. 또한 ${\vec{\mathrm{OX}}} = {\vec{\mathrm{OA}}} + {\vec{\mathrm{OY}}}$에서 점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{Y}$를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동시킨 점이므로 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동시킨 점을 각각 $\mathrm{B}'$, $\mathrm{C}'$이라 하면 도형 $C$는 부채꼴 $\mathrm{AC}' B'$의 호 $\mathrm{C}' B'$이다.

점 $\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right)$을 지나고 직선 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$와 평행한 직선이 포물선 $y ^{2} = 2 x - 2$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 도형 $C$가 포물선 $y ^{2} = 2 x - 2$와 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 $\displaystyle k = {\overline{\mathrm{AB}'}} \geq {\overline{\mathrm{AQ}}}$를 만족시켜야 하므로 구하는 실수 $k$의 최솟값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}$이다. 직선 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$와 평행하고 점 $\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x - 1 \right)$이므로 $\displaystyle \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x - 1 \right) \right\} ^{2} = 2 x - 2$에서 $x ^{2} - 6 x + 5 = 0$, $x = 1$ 또는 $x = 5$ 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{A}$가 아니므로 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 5 , 2 \sqrt{2} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} = \sqrt{\left( 5 - 1 \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2}} = 2 \sqrt{6}$ 따라서 $\displaystyle m = 2 \sqrt{6}$이며 $m ^{2} = 24$