기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

벡터로 정한 타원

문제

좌표평면에서 두 벡터 a⃗=(2,4),b⃗=(2,−1){\vec{a}} = ( 2 , 4 ) , {\vec{b}} = ( 2 , - 1 )에 대하여 ∣ma⃗+nb⃗∣=10\left| m {\vec{a}} + n {\vec{b}} \right| = 10 을 만족시키는 두 실수 m,nm , n을 각각 xx좌표, yy좌표로 하는 점 P(m,n)P ( m , n )이 나타내는 도형을 CC라 하자. 도형 CC 위를 움직이는 두 점 Q,RQ , R에 대하여 OQ⃗∙OR⃗{\vec{OQ}} \bullet {\vec{OR}}의 값이 최소일 때, 두 점 QQ와 RR 사이의 거리는? (단, OO는 원점이다.) [4점]

①5\displaystyle \sqrt{5}②25\displaystyle 2 \sqrt{5}③35\displaystyle 3 \sqrt{5}④45\displaystyle 4 \sqrt{5}⑤55\displaystyle 5 \sqrt{5}

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④

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해설

[출제의도] 벡터의 연산과 내적 문제해결하기 ma⃗+nb⃗=(2m+2n,4m−n)m {\vec{a}} + n {\vec{b}} = ( 2 m + 2 n , 4 m - n )이고, ∣ma⃗+nb⃗∣=10\left| m {\vec{a}} + n {\vec{b}} \right| = 10이므로 ∣ma⃗+nb⃗∣=20m2+5n2=10\displaystyle \left| m {\vec{a}} + n {\vec{b}} \right| = \sqrt{20 m ^{2} + 5 n ^{2}} = 10 즉, 20m2+5n2=10020 m ^{2} + 5 n ^{2} = 100이므로 도형 CC는 타원 x25+y220=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{20} = 1 타원 x25+y220=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{20} = 1위를 움직이는 두 점 Q,RQ , R에 대하여 OQ⃗∙OR⃗{\vec{OQ}} \bullet {\vec{OR}}가 최솟값을 갖는 경우는 두 점 Q,RQ , R가 장축의 양 끝 점 위에 있을 때이므로 두 점 Q,RQ , R사이의 거리는 장축의 길이인 45\displaystyle 4 \sqrt{5}

태그

#벡터의 크기#타원#내적

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