기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터 내적과 평행사변형

문제

세 점 O,A,B\mathrm{O} , A , B에 대하여 두 벡터 a⃗=OA⃗\vec{a} = \vec{\mathrm{OA}}, b⃗=OB⃗\vec{b} = \vec{\mathrm{OB}}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) a⃗∙b⃗=2\vec{a} \bullet \vec{b} = 2 (나) ∣a⃗∣=2,∣b⃗∣=3\left| \vec{a} \right| = 2 , \left| \vec{b} \right| = 3

이때, 두 선분 OA{\mathrm{OA}}, OB{\mathrm{OB}}를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이는? [3점] ①32\displaystyle 3 \sqrt{2}②42\displaystyle 4 \sqrt{2}③33\displaystyle 3 \sqrt{3}④43\displaystyle 4 \sqrt{3}⑤53\displaystyle 5 \sqrt{3}

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②

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해설

두 변 OA\mathrm{OA}, OB\mathrm{OB}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하면 a⃗∙b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=6cos⁡θ=2\vec{a} \bullet \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \cos \theta = 6 \cos \theta = 2에서 cos⁡θ=13\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3} ∴ sin⁡θ=223\displaystyle \sin \theta = \frac{2 \sqrt{2}}{3} ∴ (넓이)=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ=42\displaystyle = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin \theta = 4 \sqrt{2}

태그

#내적#넓이

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