기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터 크기 최대 최소

문제

좌표평면에서 점 A(0,12)\mathrm{A} ( 0 , 12 )와 양수 tt에 대하여 점 P(0,t)\mathrm{P} ( \mathit{0} , t )와 점 Q\mathrm{Q}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) OA⃗∙PQ⃗=0{\vec{\mathrm{OA}}} \bullet {\vec{\mathrm{PQ}}} = 0 _{{} _{}} (나) t3≤∣P⃗Q∣≤t2\displaystyle \frac{t}{3} \leq \left| \vec{\mathrm{P}} Q \right| \leq \frac{\mathit{t}}{2}

6≤t≤126 \leq t \leq 12에서 ∣AQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right|의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, MmM m의 값은? [4점] ①122\displaystyle 12 \sqrt{2}②142\displaystyle 14 \sqrt{2}③162\displaystyle 16 \sqrt{2}④182\displaystyle 18 \sqrt{2}⑤202\displaystyle 20 \sqrt{2}

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④

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해설

점 Q의 좌표를 (x,y)( x , y )라 하면 OA⃗⋅PQ⃗=\mathrm{\vec{OA}} \cdot \vec{PQ} =(0,12)⋅(x,y−t)( 0 , 12 ) \cdot ( x , y - t )=12(y−t)=0= 12 ( y - t ) = 0, y=ty = t t3≤x2+(y−t)2≤t2\displaystyle \frac{t}{3} \leq \sqrt{x ^{2} + ( y - t ) ^{2}} \leq \frac{t}{2} 따라서 y=ty = t, t3≤∣x∣≤t2\displaystyle \frac{t}{3} \leq | x | \leq \frac{t}{2}, 6≤t≤126 \leq t \leq 12 즉 2∣x∣≤y≤3∣x∣2 | x | \leq y \leq 3 | x |, 6≤y≤126 \leq y \leq 12 이것을 좌표평면에 나타내면 아래그림과 같다. 따라서 구하려는 최솟값은 A(0,12)( 0 , 12 )에서 직선 y=3xy = 3 x에 이르는 거리 m=1210\displaystyle m = \frac{12}{\sqrt{10}} 최댓값은 A(0,12)( 0 , 12 )에서 Q(3,6)( 3 , 6 )의 거리 M=9+36=35\displaystyle M = \sqrt{9 + 36} = 3 \sqrt{5} ∴\therefore Mm=1210×35=182\displaystyle Mm = \frac{12}{\sqrt{10}} \times 3 \sqrt{5} = 18 \sqrt{2}

태그

#벡터의 내적#자취#최대최소

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