기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

벡터 조건 자취 길이

문제

좌표공간에서 두 점 A(4,0,0){\mathrm{A}} ( 4 , 0 , 0 ), B(−4,0,0){\mathrm{B}} ( - 4 , 0 , 0 )과 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 OA⃗=a⃗\vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}, OB⃗=b⃗\vec{\mathrm{OB}} = \vec{b}, OP⃗=p⃗\vec{\mathrm{OP}} = \vec{p}라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형의 길이는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점] (가) (p⃗−a⃗)⋅(p⃗−b⃗)=0( \vec{p} - \vec{a} ) \cdot ( \vec{p} - \vec{b} ) = 0 (나) (p⃗−a⃗)⋅(p⃗−a⃗)=16( \vec{p} - \vec{a} ) \cdot ( \vec{p} - \vec{a} ) = 16

①22π\displaystyle 2 \sqrt{2} \pi②23π\displaystyle 2 \sqrt{3} \pi③4π4 \pi④42π\displaystyle 4 \sqrt{2} \pi⑤43π\displaystyle 4 \sqrt{3} \pi

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⑤

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해설

(가) 조건의 의미: A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 구위에 점 P가 있다. (수직이므로 내적=0) (나) 조건의 의미: A에서 거리가 4인 곳에 점 P가 있다. 즉, A를 중심으로 하고 반지름이 4인 원 위에 점 P가 있다. 두 구의 공통부분은 원입니다. 그 원의 길이를 구하면 됩니다.

(가)(x−4,y,z)∙(x+4,y,z)=0→x2+y2+z2=16( \text{가} ) ( x - 4 , y , z ) \bullet ( x + 4 , y , z ) = 0 \rightarrow x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 16 (나)(x−4)2+y2+z2=16( \text{나} ) ( x - 4 ) ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 16 →x=2평면\rightarrow x = 2 \text{평면}

태그

#구#벡터의 내적

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