기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터 조건 자취 길이

문제

좌표평면 위에 두 점 A(2,0),B(0,2)A ( 2 , 0 ) , B ( 0 , 2 )가 있다. 선분 OBOB위를 움직이는 점 PP에 대하여 점 QQ가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 QQ는 직선 APAP위의 점이다. (나) OQ⃗∙OP⃗=OQ⃗∙OA⃗\mathrm{\vec{OQ}} \bullet {\vec{OP}} = {\vec{OQ}} \bullet {\vec{OA}}

점 QQ가 나타내는 도형의 길이는? (단, OO는 원점이다.) [4점] ①π4\displaystyle \frac{\pi}{4}②π2\displaystyle \frac{\pi}{2}③π\pi④2π2 \pi⑤4π4 \pi

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②

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해설

[출제의도] 이해능력-평면벡터 OQ⃗∙OP⃗=OQ⃗∙OA⃗{\vec{OQ}} \bullet {\vec{OP}} = {\vec{OQ}} \bullet {\vec{OA}}에서 OQ⃗∙(OP⃗−OA⃗)=0{\vec{OQ}} \bullet \left( {\vec{OP}} - {\vec{OA}} \right) = 0 이므로 OQ⃗∙AP⃗=0{\vec{OQ}} \bullet {\vec{AP}} = 0 두 벡터 OQ⃗{\vec{OQ}} , AP⃗{\vec{AP}}가 서로 수직이고 점 QQ가 직선 APAP위의 점이므로 점 QQ는 원점 OO에서 직선 APAP에 내린 수선의 발이다.

선분 OAOA를 지름으로 하는 원과 선분 ABAB의 교점 중에서 점 AA가 아닌 점을 CC라 하면 점 QQ가 나타내는 도형은 선분 OAOA를 지름으로 하는 원의 일부인 호 OCOC이므로 구하는 도형의 길이는 2π×1×14=π2\displaystyle 2 \pi \times 1 \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}

태그

#벡터의 내적#자취

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