벡터 합 자취 넓이

(가) $\vec{\mathrm{OP}} = \mathit{k} ( \vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{OB}} ) = \mathit{k} ( 12 , 5 )$이므로 $\vec{\mathrm{OP}}$는 $( 12 , 5 )$와 평행한 벡터이다. $\vec{\mathrm{OP}} \bullet \vec{\mathrm{OA}} \leq 21$에서 내적의 정의에서 시점을 일치시키고 다른 벡터에 정사영한 선분의 길이의 곱을 의미하는 것이므로 $\vec{\mathrm{OA}}$의 크기가 $6$이므로 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{7}{2}$를 넘을 수 없다. (나) $\left| \vec{\mathrm{AQ}} \right| = \left| \vec{\mathrm{AB}} \right| = 5$ 즉, 점 $\mathrm{Q}$는 중심을 $\mathrm{A}$로 하고 반지름의 길이가 $5$인 원 위의 점이다. $\vec{\mathrm{OQ}} \bullet \vec{\mathrm{OA}} \leq 21$에서 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{7}{2}$를 넘을 수 없다. $\mathrm{\vec{OX}} = \vec{\mathrm{OP}} + \vec{\mathrm{OQ}}$에서 변수는 $x$좌표만 움직일 수 있으므로 넓이는 평행이동하여 잘라 붙이면 직사각형 모양으로 된다. 이때 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표의 폭이 높이가 될 수 있으며, $\mathrm{P}$의 $x$좌표의 변화는 $0$에서 $\displaystyle \frac{7}{2}$이므로 가로의 길이는 $\displaystyle \frac{7}{2}$이다. 중심이 $( 6 , 0 )$이고 반지름이 $5$인 원에서 $y$값의 변화가 가장 큰 값은 $\displaystyle x = \frac{7}{2}$일 때이므로 $\displaystyle \left( \frac{7}{2} - 6 \right) ^{2} + y ^{2} = 25$, $\displaystyle y ^{2} = 25 - \frac{25}{4}$ $\displaystyle y ^{2} = \frac{75}{4} , y = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 그러므로 세로의 길이는 $\displaystyle 5 \sqrt{3}$이다. 따라서 도형의 넓이는 $\displaystyle 5 \sqrt{3} \times \frac{7}{2} = \frac{35}{2} \sqrt{3}$ 즉, $p = 2 , q = 35$이므로 $p + q = 35 + 2 = 37$