대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원과 삼각형 넓이 빈칸

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 O\mathrm{O}라 하고, 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 C\mathrm{C}에 대하여 점 A\mathrm{A}를 지나고 선분 OC\mathrm{OC}와 평행한 직선과 호 AB\mathrm{AB}의 교점을 P\mathrm{P}, 선분 OC\mathrm{OC}와 선분 BP\mathrm{BP}의 교점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 Q\mathrm{Q}를 지나고 선분 PO\mathrm{PO}와 평행한 직선과 선분 OB\mathrm{OB}의 교점을 D\mathrm{D}라 하자. ∠CAB=θ\mathrm{\angle} CAB = \theta라 할 때, 삼각형 QDB\mathrm{QDB}의 넓이를 S(θ)S \left( \theta \right), 삼각형 PQC\mathrm{PQC}의 넓이를 T(θ)T \left( \theta \right)라 하자. 다음은 S(θ)S \left( \theta \right)와 T(θ)T \left( \theta \right)를 구하는 과정이다. (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4})

θ\theta T(θ)T \left( \theta \right) S(θ)S \left( \theta \right)

∠CAB=θ\angle \mathrm{CAB} = \theta이므로 ∠COB=2θ\angle \mathrm{COB} = 2 \theta이다. 삼각형 POB\mathrm{POB}가 이등변삼각형이고 ∠OQB=π2\displaystyle \angle \mathrm{OQB} = \frac{\pi}{2}이므로 점 Q\mathrm{Q}는 선분 PB\mathrm{PB}의 중점이고 ∠POQ=2θ\mathrm{\angle} POQ = 2 \theta이다. 선분 PO\mathrm{PO}와 선분 QD\mathrm{QD}가 평행하므로 삼각형 POB\mathrm{POB}와 삼각형 QDB\mathrm{QDB}는 닮음이다. 따라서 QD‾=□(가)\displaystyle {\overline{\mathrm{QD}}} = {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{가} ) _{{} _{}}}}이고 ∠QDB=□(나)\mathrm{\angle} QDB = {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{나} ) _{{} _{}}}}이므로 S(θ)=12×□(가)×1×sin⁡(□(나))\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{가} ) _{{} _{}}}} \times 1 \times \sin \left( {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{나} ) _{{} _{}}}} \right) 이다. CQ‾=CO‾−QO‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CQ}}} = {\overline{\mathrm{CO}}} - {\overline{\mathrm{QO}}}이므로 T(θ)=12×PQ‾×CQ‾=sin⁡2θ×(2−□(다))\displaystyle T \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{PQ}} \times \mathrm{\overline{CQ}} = \sin 2 \theta \times \left( 2 - {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{다} ) _{{} _{}}}} \right) 이다.

위의 (가)\left( \text{가} \right)에 알맞은 수를 pp라 하고, (나)\left( \text{나} \right), (다)\left( \text{다} \right)에 알맞은 식을 각각 f(θ)f \left( \theta \right), g(θ)g \left( \theta \right)라 할 때, p×f(π16)×g(π8)\displaystyle p {\times} f \left( \frac{\pi}{16} \right) {\times} g \left( \frac{\pi}{8} \right)의 값은? [4점] ①24π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} \pi②25π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5} \pi③26π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} \pi④27π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{7} \pi⑤28π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8} \pi

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①

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해설

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 넓이 추론하기 ∠CAB=θ\angle \mathrm{CAB} = \theta이므로 ∠COB=2θ\angle \mathrm{COB} = 2 \theta이다. 삼각형 POB\mathrm{POB}가 이등변삼각형이고 ∠OQB=π2\displaystyle \angle \mathrm{OQB} = \frac{\pi}{2}이므로 점 Q\mathrm{Q}는 선분 PB\mathrm{PB}의 중점이고 ∠POQ=2θ\mathrm{\angle} POQ = 2 \theta이다. 선분 PO\mathrm{PO}와 선분 QD\mathrm{QD}가 평행하므로 삼각형 POB\mathrm{POB}와 삼각형 QDB\mathrm{QDB}는 닮음이다. 따라서 QD‾=□1\displaystyle {\overline{\mathrm{QD}}} = {\square {1}}이고 ∠QDB=□4θ\mathrm{\angle} QDB = {\square {4 \theta}}이므로 S(θ)=12×□1×1×sin⁡(□4θ)\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times {\square {1}} \times 1 \times \sin \left( {\square {4 \theta}} \right) CQ‾=CO‾−QO‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CQ}}} = {\overline{\mathrm{CO}}} - {\overline{\mathrm{QO}}}이므로 T(θ)=12×PQ‾×CQ‾=sin⁡2θ×(2−□2cos⁡2θ)\displaystyle T \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{PQ}} \times \mathrm{\overline{CQ}} = \sin 2 \theta \times \left( 2 - {\square {2 \cos 2 \theta}} \right) p=1p = 1, f(θ)=4θf \left( \theta \right) = 4 \theta, g(θ)=2cos⁡2θg \left( \theta \right) = 2 \cos 2 \theta이므로 p×f(π16)×g(π8)=1×π4×2=24π\displaystyle p \times f \left( \frac{\pi}{16} \right) \times g \left( \frac{\pi}{8} \right) = 1 \times \frac{\pi}{4} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \pi

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#빈칸 추론#삼각형 넓이#닮음

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