반원과 외접원

두 직선 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{OC}$의 교점이 $\mathrm{E}$이므로 $\angle \mathrm{AEC} + \angle CED = 180 ^\circ$ $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{CED} \right) = \frac{3 \sqrt{5}}{10}$이므로 $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{AEC} \right) = - \cos \left( \angle \mathrm{CED} \right) = - \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ 삼각형 $\mathrm{ACE}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AE}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{CE}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AE}}} \times {\overline{\mathrm{CE}}} \times \cos \left( \angle \mathrm{AEC} \right)$ $\displaystyle 6 ^{2} = \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2} + {\overline{\mathrm{CE}}} ^{2} - 2 \times 2 \sqrt{5} \times {\overline{\mathrm{CE}}} \times \left( - \frac{3 \sqrt{5}}{10} \right)$ $\displaystyle 36 = 20 + {\overline{\mathrm{CE}}} ^{2} + 6 {\overline{\mathrm{CE}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} ^{2} + 6 {\overline{\mathrm{CE}}} - 16 = 0$ $\displaystyle \left( {\overline{\mathrm{CE}}} + 8 \right) \left( {\overline{\mathrm{CE}}} - 2 \right) = 0$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} > 0$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = 2$ 반원의 반지름의 길이를 $R$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OC}}} = R$이고, 점 $\mathrm{E}$가 선분 $\mathrm{OC}$ 위에 있으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OE}}} = {\overline{OC}} - {\overline{CE}} = \mathit{R} - 2$ 이때 $\angle \mathrm{AEO}$와 $\angle \mathrm{CED}$는 맞꼭지각이므로 $\angle \mathrm{AEO} = \angle CED$에서 $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{AEO} \right) = \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ 삼각형 $\mathrm{AOE}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{OE}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AE}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{OE}}} \times {\overline{\mathrm{AE}}} \times \cos \left( \angle \mathrm{AEO} \right)$ $\displaystyle R ^{2} = \left( R - 2 \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2} - 2 \times \left( R - 2 \right) \times 2 \sqrt{5} \times \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ $R ^{2} = R ^{2} - 4 R + 4 + 20 - 6 \left( R - 2 \right)$ $10 R = 36$ $\displaystyle \therefore R = \frac{18}{5}$ 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 반지름의 길이가 $\displaystyle R = \frac{18}{5}$인 원 위의 점이므로 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle R = \frac{18}{5}$ 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{ADC} \right)} = 2 R$, $\displaystyle \frac{6}{\sin \left( \angle \mathrm{ADC} \right)} = 2 \times \frac{18}{5}$ $\displaystyle \therefore \sin \left( \angle \mathrm{ADC} \right) = \frac{5}{6}$ 점 $\mathrm{E}$가 선분 $\mathrm{AD}$ 위에 있으므로 $\angle \mathrm{CDE} = \angle ADC$에서 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{CDE} \right) = \frac{5}{6}$ 삼각형 $\mathrm{CED}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{CE}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{CDE} \right)} = 2 r$, $\displaystyle \frac{2}{\frac{5}{6}} = 2 r$, $\displaystyle 2 r = \frac{12}{5}$ $\displaystyle \therefore r = \frac{6}{5}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} \times r = 2 \times \frac{6}{5} = \frac{12}{5}$이다.