반원 위 선분 길이

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{DB}}} = x$, $\angle {\mathrm{CAB}} = \mathit{\alpha}$라 하자. 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 $\angle {\mathrm{ACB}} = \mathit{90} ^\circ$이므로 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{3} = \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{x}{6}$, $x = 2$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{DB}}} = 2$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 4$ 삼각형 ${\mathrm{ADC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} = 4 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \times 4 \times 2 \times \cos \alpha = \frac{44}{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \sqrt{\frac{44}{3}} = \frac{2 \sqrt{33}}{3}$ $\angle {\mathrm{CBE}} = \mathit{\beta}$라 하자. 선분 ${\mathrm{BE}}$와 선분 ${\mathrm{CD}}$가 평행하므로 $\angle {\mathrm{DCB}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CBE}} = \mathit{\beta}$ $\angle {\mathrm{DBC}} = \mathit{90} ^\circ - \alpha$이므로 삼각형 ${\mathrm{DBC}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{DB}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{DCB}} \right)} = \frac{{\overline{\mathrm{CD}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{DBC}} \right)}$ $\displaystyle \frac{2}{\sin \beta} = \frac{\frac{2 \sqrt{33}}{3}}{\sin \left( 90 ^\circ - \alpha \right)}$ $\sin \left( 90 ^\circ - \alpha \right) = \cos \alpha$이므로 $\displaystyle \sin \beta = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{\frac{2 \sqrt{33}}{3}} = \frac{\sqrt{33}}{33}$ 삼각형 ${\mathrm{CBE}}$의 외접원의 지름이 $6$이므로 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{CE}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{CBE}} \right)} = 6$ 따라서, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = 6 \times \sin \beta = 6 \times \frac{\sqrt{33}}{33} = \frac{2}{11} \sqrt{33}$