반원 위 점과 삼각형 넓이

$\angle BOP _{1} = \theta _{1}$, $\angle BOP _{2} = \theta _{2}$ 라 하고 세 점 $P _{1}$, $P _{2}$, $P _{3}$가 움직인 거리를 각각 $l _{P_{1}}$, $l _{P_{2}}$, $l _{P_{3}}$이라 하면 $l _{P_{1}} = 1 \times \theta _{1} = \theta _{1}$ $l _{P_{2}} = 2 \times \theta _{2} = 2 \theta _{2}$ $l _{P_{3}} = 4 \times \theta = 4 \theta$ 이고 세 점의 속력은 같으므로 $\theta _{1} = 2 \theta _{2} = 4 \theta$ $\therefore$ $\theta _{1} = 4 \theta$, $\theta _{2} = 2 \theta$ 따라서, $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 8 \times \sin 4 \theta = 4 \sin 4 \theta$ $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 \sin 2 \theta = 8 \sin 2 \theta$ $\displaystyle S _{3} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 \sin \theta = 16 \sin \theta$ 이고 $3 S _{3} = 2 ( S _{1} + S _{2} )$에 대입하면 $48 \sin \theta = 2 ( 4 \sin 4 \theta + 8 \sin 2 \theta )$ $6 \sin \theta = \sin 4 \theta + 2 \sin 2 \theta$$= 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta$ $= 4 \sin \theta \cos \theta \cos 2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta$ $3 = 2 \cos \theta \cos 2 \theta + 2 \cos \theta$$= 2 \cos \theta ( 2 \cos ^{2} \theta - 1 ) + 2 \cos \theta$ $= 4 \cos ^{3} \theta$ $\therefore$ $\displaystyle \cos ^{3} \theta = \frac{3}{4}$